На сторонах MN и NK треугольника MNK отмечены точки Q и S так, что MQ : QN = 3 : 4 и KS : SN = 3 : 4. Чему равен отрезок QS, если MK = 21 мм?
В данном задании мы рассматриваем треугольник MNK, в котором на сторонах MN и NK отмечены точки Q и S, соответственно. Для начала давайте определим отрезки MQ и QN, а также KS и SN, основываясь на заданных соотношениях.
1. **Отрезок MQ и QN**:
При соотношении MQ : QN = 3 : 4, это означает, что мы можем представить длины отрезков следующим образом:
- Пусть MQ = 3x
- Тогда QN = 4x
Сумма этих отрезков будет равна полной длине MN:
\[
MN = MQ + QN = 3x + 4x = 7x
\]
2. **Отрезок KS и SN**:
То же самое сделаем для отрезков KS и SN, при соотношении KS : SN = 3 : 4:
- Пусть KS = 3y
- Тогда SN = 4y
Сумма этих отрезков даст полную длину NK:
\[
NK = KS + SN = 3y + 4y = 7y
\]
3. Теперь мы знаем, что стороны MK равны 21 мм. Длина MK не влияет на длины отрезков MQ, QN, KS и SN, но мы рассматриваем их относительные значения.
4. **Длина отрезка QS**:
Чтобы найти длину отрезка QS, нужно сначала определить расстояние от Q до S. Поскольку точки Q и S лежат на сторонах MN и NK, можно заметить, что отрезок QS является прямой, соединяющей две линии, и мы можем воспользоваться отношениями между отрезками.
У нас есть:
\[
QS = QN + SN
\]
Подставляем найденные значения:
\[
QS = 4x + 4y
\]
Теперь давайте выразим x и y. Мы знаем, что MN и NK соотносятся с MK, однако точные значения MN и NK нам не известны, так как у нас нет конкретной информации о пропорциях. Но заметим, что эти длины остаются в пропорции.
5. Если считать, что MN и NK пропорциональны MK, мы можем сделать дополнительное предположение, что 7x и 7y зависят от одной и той же длины MK (в данном случае 21 мм). Вдобавок, если длины MN и NK равны, то можем задать:
\[
7x = 21 \quad \text{и} \quad 7y = 21
\]
Таким образом, получаем:
\[
x = 3 \quad \text{и} \quad y = 3
\]
Теперь подставляем значения x и y обратно в отрезок QS:
\[
QS = 4(3) + 4(3) = 12 + 12 = 24 \text{ мм}
\]
Таким образом, длина отрезка QS составляет 24 мм.
