"Дано: A(0;4); B(-3;5); C(-1;3); BM=MC.\nНайти:cos(AM^AC)"

Решение:

Найдем координаты точки M, используя координаты точек B и C: xM = (xB + xC) / 2 = (-3 + (-1)) / 2 = -2 / 2 = -1, yM = (yB + yC) / 2 = (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4.

Теперь найдем длины векторов AM и AC: Длина вектора AM: AM = √[(xM - xA)² + (yM - yA)²] = √[(-1 - 0)² + (4 - 4)²] = √[1² + 0²] = √1 = 1.

Длина вектора AC: AC = √[(xC - xA)² + (yC - yA)²] = √[(-1 - 0)² + (3 - 4)²] = √[1² + (-1)²] = √[1 + 1] = √2.

Теперь найдем косинус угла между векторами AM и AC: cos(AM^AC) = (AM • AC) / (|AM| • |AC|), где "•" обозначает скалярное произведение векторов.

AM • AC = (xAM * xAC) + (yAM * yAC) = (1 * 1) + (0 * (-1)) = 1 + 0 = 1, |AM| = 1, |AC| = √2.

Тогда: cos(AM^AC) = (AM • AC) / (|AM| • |AC|) = 1 / (1 • √2) = 1 / √2.

Ответ: cos(AM^AC) = 1 / √2.