Вычислить тангенс альфа деленная на два если косинус альфа равен минус дробь 3 разделить на 5 и пи деленная на 2 меньше альфа меньше пи

Для решения задачи давайте начнем с определения угла \( \alpha \). У нас есть информация о косинусе:

\[ \cos(\alpha) = -\frac{3}{5} \]

Условие \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) указывает, что угол \( \alpha \) находится во втором квадранте. В этом квадранте синус положительный, а косинус отрицательный.

Теперь можем воспользоваться известной тригонометрической формулой для тангенса половинного угла:

\[ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \]

Сначала найдем \( \sin(\alpha) \) через \( \cos(\alpha) \). Пользуемся тригонометрическим тождеством:

\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \]

Подставим значение косинуса:

\[ \sin^2(\alpha) + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \]

\[ \sin^2(\alpha) + \frac{9}{25} = 1 \]

\[ \sin^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]

Теперь извлекаем корень из обеих сторон. Поскольку угол \( \alpha \) во втором квадранте, синус положителен:

\[ \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \]

Теперь подставим значения \( \sin(\alpha) \) и \( \cos(\alpha) \) в формулу для тангенса половинного угла:

\[ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)}{\frac{4}{5}} = \frac{1 + \frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} \]

Упростим числитель:

\[ 1 + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} + \frac{3}{5} = \frac{8}{5} \]

Теперь получаем:

\[ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\frac{8}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{8}{5} \times \frac{5}{4} = 2 \]

Таким образом, значение \(\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\) равно 2.