На биссектрисе угла А взята точка D,а на сторонах этого угла точка В и С такие,что угол АDB= углу АDС.докажите что ВD=CD

Доказательство данного утверждения можно провести следующим образом:

1. Обозначим углы: Пусть угол \( \angle ADB = \angle ADC = \alpha \). Тогда из условия задачи у нас есть два треугольника: \( \triangle ADB \) и \( \triangle ADC \).

2. Используем свойства углов: Поскольку \( D \) лежит на биссектрисе угла \( A \), \( \angle BAD = \angle CAD \). Обозначим эти углы как \( \beta \).

3. Составим уравнение для углов: В треугольнике \( ADB \) сумма углов равна \( 180^\circ \), значит: \[ \angle ADB + \angle BAD + \angle ABD = 180^\circ. \] Подставляем \( \angle ADB = \alpha \) и \( \angle BAD = \beta \): \[ \alpha + \beta + \angle ABD = 180^\circ, \] откуда получаем: \[ \angle ABD = 180^\circ - \alpha - \beta. \]

   Аналогично, для треугольника \( ADC \): \[ \angle ADC + \angle CAD + \angle ACD = 180^\circ, \] подставляем: \[ \alpha + \beta + \angle ACD = 180^\circ, \] откуда: \[ \angle ACD = 180^\circ - \alpha - \beta. \]

4. Сравниваем углы: Углы \( \angle ABD \) и \( \angle ACD \) равны, следовательно, по теореме о равенстве углов в треугольниках: \[ \angle ABD = \angle ACD. \] Но так как эти углы оба равны \( 180^\circ - \alpha - \beta \), то: \[ \angle ABD = \angle ACD. \]

5. Применяем признак равенства треугольников: Мы имеем, что \( \angle ADB = \angle ADC \) и \( \angle ABD = \angle ACD \) и общий угол \( \angle A \) в треугольниках \( ADB \) и \( ADC \) одинаковый. По признаку равенства треугольников (по двум углам) треугольники \( ADB \) и \( ADC \) равны.

6. Заключение: Если треугольники равны, то соответствующие стороны равны, то есть \( BD = CD \).

Таким образом, мы доказали, что \( BD = CD \).