Вычисли площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x)=x^2, прямыми y=0,x=1 и x=4

Чтобы вычислить площадь \( S \) криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( f(x) = x^2 \), прямыми \( y = 0 \), \( x = 1 \) и \( x = 4 \), нужно применить интегрирование.

Площадь криволинейной трапеции можно найти, вычислив определённый интеграл функции \( f(x) \) на заданном интервале.

1. Запишем определённый интеграл:

\[ S = \int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{1}^{4} x^2 \, dx \]

2. Вычислим интеграл:

Для нахождения интеграла \( \int x^2 \, dx \) используем формулу:

\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

Для \( n = 2 \):

\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]

Теперь найдем определённый интеграл от 1 до 4:

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{4} \]

3. Подставим пределы интегрирования:

\[ S = \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{1}{3} = \frac{64 - 1}{3} = \frac{63}{3} = 21 \]

Таким образом, площадь криволинейной трапеции \( S \) составляет \( 21 \) квадратную единицу.