В прямоугольном треугольнике с острым углом а катеты равны cos a и 4 sin a. Найдите квадрат меньшего катета. Ответ выразите в виде насократимой обыкновенной дроби

В прямоугольном треугольнике, где один из острых углов равен \( \alpha \), длины катетов равны \( \cos \alpha \) и \( 4 \sin \alpha \). Нам необходимо найти квадрат меньшего катета и выразить его в виде сокращаемой обыкновенной дроби.

1. Определим меньший катет. Чтобы понять, какой катет меньше, сравним \( \cos \alpha \) и \( 4 \sin \alpha \).

   • Так как \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), мы знаем, что \( \cos \alpha \) меняется от 1 до 0, а \( \sin \alpha \) меняется от 0 до 1.
   • При \( \alpha = 0 \), \( \cos 0 = 1 \) и \( 4 \sin 0 = 0 \).
   • При \( \alpha = \frac{\pi}{2} \), \( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \) и \( 4 \sin \frac{\pi}{2} = 4 \).
   • Мы можем найти точку, где \( \cos \alpha = 4 \sin \alpha \). Это происходит, когда \( 1 = 4 \tan \alpha \), или \( \tan \alpha = \frac{1}{4} \).

   Таким образом, меньший катет — это \( \cos \alpha \), когда \( \tan \alpha < \frac{1}{4} \).

2. Найдём квадрат меньшего катета: \[ (\cos \alpha)^2 = \cos^2 \alpha \] Используя основное тригонометрическое тождество: \[ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \]

   Теперь \( \sin^2 \alpha \) можно выразить через \( \tan \alpha \): \[ \sin^2 \alpha = \frac{\tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} \] Подставим \( \tan \alpha = \frac{1}{4} \): \[ \sin^2 \alpha = \frac{\left( \frac{1}{4} \right)^2}{1 + \left( \frac{1}{4} \right)^2} = \frac{\frac{1}{16}}{1 + \frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{17}{16}} = \frac{1}{17} \]

   Теперь найдем \( \cos^2 \alpha \): \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{17} = \frac{16}{17} \]

Таким образом, квадрат меньшего катета равен: \[ \cos^2 \alpha = \frac{16}{17} \]

Это и есть окончательный ответ. Квадрат меньшего катета равен \( \frac{16}{17} \).