Для скольких пар (p;q) образованных целыми числами, выполняется неравенства p²+q2 < 4(p+q)? Пары отличающиеся порядком элементов считаются различными
Для решения данной задачи начнем с анализа неравенства:
\[ p^2 + q^2 < 4(p + q) \]
Перепишем его в более удобной форме. Переместим все члены в левую часть:
\[ p^2 + q^2 - 4p - 4q < 0 \]
Теперь преобразуем выражение:
\[ p^2 - 4p + q^2 - 4q < 0 \]
Мы можем выделить полный квадрат для каждого из выражений. Для \( p \) это:
\[ (p - 2)^2 - 4 \]
А для \( q \):
\[ (q - 2)^2 - 4 \]
Теперь подставляем эти выражения обратно в неравенство:
\[ (p - 2)^2 - 4 + (q - 2)^2 - 4 < 0 \]
Упрощаем:
\[ (p - 2)^2 + (q - 2)^2 < 8 \]
Это неравенство описывает круг радиусом \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) с центром в точке \( (2, 2) \) на плоскости координат \( (p, q) \).
Теперь найдем целые точки в этом круге. Так как \( \sqrt{8} \) примерно равно 2.83, мы можем перебрать все сочетания целых чисел \( p \) и \( q \), находящиеся в пределах:
\[ 2 - 2\sqrt{2} < p < 2 + 2\sqrt{2} \] \[ 2 - 2\sqrt{2} < q < 2 + 2\sqrt{2} \]
Ограничения для \( p \) и \( q \) будут приблизительно:
\[ -0.83 < p < 4.83 \] \[ -0.83 < q < 4.83 \]
Таким образом, целые значения \( p \) и \( q \) могут принимать значения от 0 до 4, то есть \( p, q \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \).
Теперь проверим комбинации значений:
- \( p = 0 \): возможные \( q \): 0, 1, 2, 3, 4 (всего 5)
- \( p = 1 \): возможные \( q \): 0, 1, 2, 3, 4 (всего 5)
- \( p = 2 \): возможные \( q \): 0, 1, 2, 3, 4 (всего 5)
- \( p = 3 \): возможные \( q \): 0, 1, 2, 3, 4 (всего 5)
- \( p = 4 \): возможные \( q \): 0, 1, 2, 3, 4 (всего 5)
Теперь посчитаем общее количество пар \( (p, q) \). У нас по 5 вариантов для каждого из 5 значений, и помним, что пары различны по порядку элементов. Поэтому, общее количество пар можно вычислить как:
\[ 5 \times 5 = 25 \]
Таким образом, ответ на ваш вопрос: для 25 пар \( (p, q) \) выполняется неравенство \( p^2 + q^2 < 4(p + q) \).
