В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 40 см, а периметр треугольника АВМ равен 32 см.

Чтобы найти медиану \( AM \) в равнобедренном треугольнике \( ABC \) с основанием \( BC \), начнем с анализа данных.

Мы знаем, что периметр треугольника \( ABC \) составляет 40 см, а периметр треугольника \( ABM \) — 32 см.

Обозначим следующие стороны:

• \( AB = AC = x \) (так как треугольник равнобедренный)
• \( BC = y \) (основание)

Из условия периметра треугольника \( ABC \) можно составить уравнение:

\[ 2x + y = 40 \quad \text{(1)} \]

Периметр треугольника \( ABM \) равен:

\[ AB + AM + BM = x + AM + \frac{y}{2} = 32 \quad \text{(так как медиана делит основание пополам)} \quad \text{(2)} \]

Теперь у нас есть два уравнения, и мы можем выразить \( AM \) через \( y \) и \( x \).

Из первого уравнения (1):

\[ y = 40 - 2x \]

Подставим это значение в уравнение (2):

\[ x + AM + \frac{40 - 2x}{2} = 32 \]

Упростим его:

\[ x + AM + 20 - x = 32 \]

Убираем \( x \):

\[ AM + 20 = 32 \]

Таким образом, находим \( AM \):

\[ AM = 32 - 20 = 12 \]

Итак, медиана \( AM \) равна 12 см.