Постройте график функции у = x² те с помощью графика: - 2х - 8. Найди- а) значение у при х = -1,5; б) значения х, при которых у = 3; в) нули функции; промежутки, в которых у > 0и…
Постройте график функции у = x² те с помощью графика: - 2х - 8. Найди- а) значение у при х = -1,5; б) значения х, при которых у = 3; в) нули функции; промежутки, в которых у > 0и в которых у < 0; г) промежуток, в котором функция возрастает.
Чтобы построить график функции \(y = x^2 - 2x - 8\) и ответить на ваши вопросы, давайте сначала преобразуем эту функцию, чтобы лучше понять её форму.
Преобразование функции: Функция задана как \(y = x^2 - 2x - 8\). Мы можем выделить полный квадрат, чтобы упростить анализ:
\[ y = (x - 1)^2 - 9 \]
Это указывает на то, что у нас есть парабола, открытая вверх, с вершиной в точке (1, -9).
График функции: График будет иметь вершину в точке (1, -9) и пересекаться с осью Y в точке (-8), так как \(y\) при \(x = 0\) равен -8.
Теперь давайте ответим по пунктам:
а) Значение y при \(x = -1.5\): Подставим значение \(x = -1.5\) в функцию:
\[ y = (-1.5)^2 - 2 \cdot (-1.5) - 8 \] \[ y = 2.25 + 3 - 8 = -2.75 \]
Ответ: \(y = -2.75\).
б) Значения x, при которых \(y = 3\): Для нахождения значений \(x\), когда \(y = 3\), решим уравнение:
\[ 3 = x^2 - 2x - 8 \] \[ 0 = x^2 - 2x - 11 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 4 + 44 = 48 \]
Далее найдём корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{3} \]
Ответ: \(x_1 = 1 + 2\sqrt{3}, x_2 = 1 - 2\sqrt{3}\).
в) Нули функции: Чтобы найти нули функции, решим уравнение:
\[ 0 = x^2 - 2x - 8 \]
Используя дискриминант:
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
Находим корни:
\[ x = \frac{2 \pm 6}{2} \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -2 \]
Ответ: Нули функции при \(x = 4\) и \(x = -2\).
Промежутки:
- Для нахождения промежутков, где \(y > 0\) и \(y < 0\), мы смотрим на параболу. Она пересекает ось X в \(x = -2\) и \(x = 4\).
- Для \(x < -2\) и \(x > 4\): \(y > 0\).
- Для \(-2 < x < 4\): \(y < 0\).
г) Промежуток, в котором функция возрастает: Парабола возрастает после её вершины. Вершина находится при \(x = 1\). Следовательно, функция возрастает на промежутке \(x > 1\).
Надеюсь, эти объяснения помогут вам лучше понять функцию! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
