Не выполняя построения, определите, пересекаются 1 ли парабола у = 2x х² и прямая у = 12 - х. Если точки пере- сечения существуют, то найдите их координаты.
Чтобы определить, пересекаются ли парабола \( y = 2x^2 \) и прямая \( y = 12 - x \), необходимо приравнять их уравнения:
\[ 2x^2 = 12 - x \]
Теперь перенесём все члены в одну сторону уравнения:
\[ 2x^2 + x - 12 = 0 \]
Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае \( a = 2 \), \( b = 1 \), \( c = -12 \). Подставим эти значения в формулу:
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) \] \[ D = 1 + 96 \] \[ D = 97 \]
Так как дискриминант \( D \) положителен, это означает, что уравнение имеет два различных корня. Следовательно, парабола и прямая пересекаются в двух точках.
Теперь найдем координаты точек пересечения, решив квадратное уравнение:
- Вычислим корни с помощью формулы:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим известные значения:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{97}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{97}}{4} \]
Это дает два корня:
\[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{97}}{4} \] \[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{97}}{4} \]
- Найдем соответствующие значения \( y \) для каждой из точек, подставив найденные \( x \) обратно в уравнение прямой \( y = 12 - x \):
Для точки \( x_1 \):
\[ y_1 = 12 - \left(\frac{-1 + \sqrt{97}}{4}\right) = 12 + \frac{1 - \sqrt{97}}{4} = 12 + \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{97}}{4} \]
Для точки \( x_2 \):
\[ y_2 = 12 - \left(\frac{-1 - \sqrt{97}}{4}\right) = 12 + \frac{1 + \sqrt{97}}{4} = 12 + \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{97}}{4} \]
Итак, координаты точек пересечения:
- \( \left( \frac{-1 + \sqrt{97}}{4}, 12 + \frac{1 - \sqrt{97}}{4} \right) \)
- \( \left( \frac{-1 - \sqrt{97}}{4}, 12 + \frac{1 + \sqrt{97}}{4} \right) \)
В результате, парабола и прямая пересекаются в двух точках.
