Сумма от 1 до n где i*(i+1)
Чтобы найти сумму от 1 до n для выражения \( i \cdot (i + 1) \), мы сначала подставим это выражение для каждого значения \( i \) от 1 до \( n \):
\[ S = \sum_{i=1}^{n} i \cdot (i + 1) \]
Теперь разложим это выражение:
\[ i \cdot (i + 1) = i^2 + i \]
Таким образом, сумма становится:
\[ S = \sum_{i=1}^{n} (i^2 + i) = \sum_{i=1}^{n} i^2 + \sum_{i=1}^{n} i \]
Теперь найдем каждую из сумм:
- Сумма квадратов первых \( n \) натуральных чисел:
\[ \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \]
- Сумма первых \( n \) натуральных чисел:
\[ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n + 1)}{2} \]
Теперь подставим эти выражения в нашу сумму \( S \):
\[ S = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2} \]
Чтобы сложить эти дроби, найдем общий знаменатель, которым будет 6:
\[ S = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{3n(n + 1)}{6} \]
Складываем:
\[ S = \frac{n(n + 1)(2n + 1 + 3)}{6} = \frac{n(n + 1)(2n + 4)}{6} \]
Упрощаем:
\[ S = \frac{n(n + 1)(2(n + 2))}{6} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} \]
Таким образом, сумма от 1 до \( n \) для выражения \( i \cdot (i + 1) \) равна:
\[ S = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} \]
Если у вас есть еще вопросы по этой теме или другим учебным материалам, пожалуйста, спрашивайте!
