\[ \begin{cases} x + y = \pi, \\ \sin x + \sin y = 1 \end{cases} \]

Давайте решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} x + y = \pi, \\ \sin x + \sin y = 1 \end{cases} \]

Сначала из первого уравнения выразим переменную \(y\): \[ y = \pi - x. \]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение: \[ \sin x + \sin(\pi - x) = 1. \]

По свойству синуса, \(\sin(\pi - x) = \sin x\). Подставим это в уравнение: \[ \sin x + \sin x = 1, \] или \[ 2 \sin x = 1. \]

Теперь разделим обе стороны на 2: \[ \sin x = \frac{1}{2}. \]

Синус равен \( \frac{1}{2} \) при углах \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \), где \(k\) — любое целое число.

Теперь найдем соответствующие значения \(y\):

1. Если \( x = \frac{\pi}{6} \): \[ y = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}. \]

2. Если \( x = \frac{5\pi}{6} \): \[ y = \pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}. \]

Таким образом, у нас есть два решения:

1. \( (x, y) = \left( \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right) \)
2. \( (x, y) = \left( \frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{6} \right) \)

Это значит, что система уравнений имеет два решения. Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!