найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции: y = x⁴ - 5x² + 4

Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции \( y = x^4 - 5x^2 + 4 \) с осями координат, нужно рассмотреть два случая: точку пересечения с осью абсцисс (ось \( x \)) и точку пересечения с осью ординат (ось \( y \)).

1. Пересечение с осью \( y \): Это происходит, когда \( x = 0 \). Подставим \( x = 0 \) в уравнение функции: \[ y = 0^4 - 5 \cdot 0^2 + 4 = 4. \] Таким образом, точка пересечения с осью \( y \) имеет координаты \( (0, 4) \).

2. Пересечение с осью \( x \): Это происходит, когда \( y = 0 \). Нужно решить уравнение: \[ x^4 - 5x^2 + 4 = 0. \] Введем замену: \( z = x^2 \). Тогда уравнение превращается в: \[ z^2 - 5z + 4 = 0. \] Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}. \] Это дает два решения: \[ z_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{2}{2} = 1. \] Теперь вернемся к переменной \( x \):

   • Для \( z_1 = 4 \): \( x^2 = 4 \) ⇒ \( x = 2 \) или \( x = -2 \).
   • Для \( z_2 = 1 \): \( x^2 = 1 \) ⇒ \( x = 1 \) или \( x = -1 \).

Таким образом, точки пересечения графика функции с осью \( x \):

• \( (2, 0) \)
• \( (-2, 0) \)
• \( (1, 0) \)
• \( (-1, 0) \)

Итак, итоговые координаты точек пересечения с осями координат:

• С осью \( y \): \( (0, 4) \)
• С осью \( x \): \( (2, 0) \), \( (-2, 0) \), \( (1, 0) \), \( (-1, 0) \)