Найдите нули функции f(x) = -x^2 + 2x + 2. изобразите схематически график и определите промежутки знакопостоянства.
Чтобы найти нули функции \( f(x) = -x^2 + 2x + 2 \), мы сначала решим уравнение, приравняв функцию к нулю:
\[ -x^2 + 2x + 2 = 0 \]
Умножим все уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:
\[ x^2 - 2x - 2 = 0 \]
Теперь используем дискриминант для нахождения корней. Дискриминант определяется как:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -2 \).
Подставляем значения:
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12 \]
Поскольку дискриминант больше нуля, у уравнения есть два действительных корня. Рассчитаем корни, используя формулу:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} \]
Таким образом, нули функции:
\[ x_1 = 1 + \sqrt{3}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{3} \]
Теперь определим промежутки знакопостоянства. Для этого рассмотрим, как изменяется знак функции на интервалах, образованных корнями.
- Интервал \( (-\infty, 1 - \sqrt{3}) \)
- Интервал \( (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}) \)
- Интервал \( (1 + \sqrt{3}, +\infty) \)
Выберем тестовые точки в каждом интервале:
Для интервала \( (-\infty, 1 - \sqrt{3}) \), например, \( x = -3 \): \[ f(-3) = -(-3)^2 + 2(-3) + 2 = -9 - 6 + 2 = -13 \quad (\text{отрицательно}) \]
Для интервала \( (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}) \), например, \( x = 1 \): \[ f(1) = -(1)^2 + 2(1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3 \quad (\text{положительно}) \]
Для интервала \( (1 + \sqrt{3}, +\infty) \), например, \( x = 4 \): \[ f(4) = -(4)^2 + 2(4) + 2 = -16 + 8 + 2 = -6 \quad (\text{отрицательно}) \]
Теперь составим вывод о знакопостоянстве:
- \( f(x) < 0 \) на интервалах \( (-\infty, 1 - \sqrt{3}) \) и \( (1 + \sqrt{3}, +\infty) \)
- \( f(x) > 0 \) на интервале \( (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}) \)
Теперь мы можем схематически изобразить график функции. График будет параболой, которая открыта вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный) и пересекает ось \( x \) в точках \( 1 - \sqrt{3} \) и \( 1 + \sqrt{3} \).
График функции:
- Парабола имеет максимум в вершине, которая находится в точке \( x = 1 \) (находится между корнями).
- Максимум функции \( f(1) = 3 \).
Так что график будет выглядеть как парабола, достигающая максимума в точке \( (1, 3) \) и уходящая вниз, пересекающая ось \( x \) в двух найденных ранее точках.
