Высоты, проведенные и боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС равен 140°

В задании рассматривается остроугольный равнобедренный треугольник ABC, где высоты, проведённые к боковым сторонам AB и AC, пересекаются в точке M.

Из условия известно, что угол BMC равен 140°.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то основание AB равно основанию AC, и углы при основании равны. Обозначим угол при вершине A как α, а углы при основании B и C как β.

При этом, угол BMC является внешним углом треугольника BMC. По свойству внешнего угла, он равен сумме двух внутренних углов, противолежащих ему:

\[ \angle BMC = \angle MAB + \angle MCA \]

Учитывая, что высота BM перпендикулярна AC, а высота CM перпендикулярна AB, можно заметить, что:

\[ \angle MAB = 90° - \beta \text{ и } \angle MCA = 90° - \beta \]

Следовательно:

\[ \angle BMC = (90° - \beta) + (90° - \beta) = 180° - 2\beta \]

Приравняем это выражение к 140°:

\[ 180° - 2\beta = 140° \]

Решим уравнение:

\[ 180° - 140° = 2\beta \\ 40° = 2\beta \\ \beta = 20° \]

Теперь можем найти угол α:

\[ \alpha + 2\beta = 180° \\ \alpha + 2(20°) = 180° \\ \alpha + 40° = 180° \\ \alpha = 180° - 40° = 140° \]

Таким образом, углы треугольника ABC равны:

• Угол A (α) = 140°
• Угол B (β) = 20°
• Угол C (β) = 20°

Итак, углы треугольника ABC равны 140°, 20° и 20°.