Полусферический тонкостенный «колокол» с небольшим отверстием в верхней части плотно (без зазора) лежит на горизонтальном столе. Через отверстие в колокол медленно наливают воду. Когда вода доходит до отверстия, она приподнимает колокол и начинает вытекать из под него снизу. Найдите массу колокола m, если его радиус R=10 см. Плотность воды ρ=10^3 кг/м3.
Чтобы найти массу полусферического колокола, нужно рассмотреть баланс сил, когда колокол начинает подниматься при наливании воды.
Объем полусферического колокола: Полусферический колокол с радиусом \( R \) имеет объем: \[ V_{\text{колокол}} = \frac{2}{3} \pi R^3 \]
Сила тяжести колокола: Сила тяжести на колокол равна: \[ F_{\text{т}} = m \cdot g \] где \( m \) - масса колокола, \( g \) - ускорение свободного падения (\( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \)).
Сила архимеда: Когда уровень воды достигает отверстия в колоколе, он начинает подниматься. При этом сила архимеда, действующая на колокол, равна весу вытесненной воды. Объем вытесненной воды равен объему полусферы, который находится под водой: \[ V_{\text{вытесненная}} = \frac{1}{2} \cdot V_{\text{колокол}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \pi R^3 = \frac{1}{3} \pi R^3 \]
Масса вытесненной воды: \[ m_{\text{вода}} = \rho \cdot V_{\text{вытесненная}} = \rho \cdot \frac{1}{3} \pi R^3 \]
Подставляем \( \rho = 10^3 \, \text{кг/м}^3 \) и \( R = 0.1 \, \text{м} \) (так как 10 см = 0.1 м): \[ V_{\text{вытесненная}} = \frac{1}{3} \pi (0.1)^3 = \frac{1}{3} \pi (0.001) = \frac{1}{3000} \pi \, \text{м}^3 \] \[ m_{\text{вода}} = 10^3 \cdot \frac{1}{3000} \pi \approx \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \, \text{кг} \]
Сбалансируем силы: В момент, когда колокол начинает подниматься, сила архимеда равна силе тяжести колокола: \[ m \cdot g = m_{\text{вода}} \cdot g \] Отсюда: \[ m = m_{\text{вода}} = \frac{1}{3} \cdot 1000 \cdot \pi \approx 1.047 \, \text{кг} \]
Таким образом, масса колокола \( m \) приблизительно равна \( 1.047 \, \text{кг} \).
