в классе 20 человек сколькими способами можно выбрать 10 человек для участия в соревнованиях?
Чтобы решить задачу о том, сколько способов можно выбрать 10 человек из класса, где всего 20 человек, нужно воспользоваться формулой сочетаний. Сочетания используются, когда порядок выбора не важен.
Формула для вычисления сочетаний выглядит так:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где:
- \( n \) — общее количество элементов (в нашем случае 20),
- \( k \) — количество элементов, которые нужно выбрать (в нашем случае 10),
- \( n! \) — факториал числа \( n \).
Подставим значения в формулу:
\[ C(20, 10) = \frac{20!}{10!(20-10)!} = \frac{20!}{10! \cdot 10!} \]
Теперь давайте вычислим:
- Факториал числа 20: \( 20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10! \)
- Мы можем сократить \( 10! \) в числителе и знаменателе:
\[ C(20, 10) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{10!} \]
Теперь посчитаем сначала числитель:
\( 20 \times 19 = 380 \)
\( 380 \times 18 = 6840 \)
\( 6840 \times 17 = 116280 \)
\( 116280 \times 16 = 1860480 \)
\( 1860480 \times 15 = 27907200 \)
\( 27907200 \times 14 = 390700800 \)
\( 390700800 \times 13 = 5079110400 \)
\( 5079110400 \times 12 = 60949324800 \)
\( 60949324800 \times 11 = 670442572800 \)
И теперь делим на \( 10! \):
\( 10! = 3628800 \)
Теперь можем найти количество сочетаний:
\[ C(20, 10) = \frac{670442572800}{3628800} = 184756 \]
Итак, количество способов выбрать 10 человек из 20 составляет 184756.
