Сколько будет (1²+1×3+3²)...(99²+99×101+101²)

Чтобы решить выражение \( (1^2 + 1 \times 3 + 3^2) + (2^2 + 2 \times 4 + 4^2) + \ldots + (99^2 + 99 \times 101 + 101^2) \), сначала разберем каждый из его слагаемых.

Каждый элемент имеет следующий вид: \[ n^2 + n \times (n+2) + (n+2)^2 \] где \( n \) принимает значения от 1 до 99.

Теперь упростим слагаемое: \[ n^2 + n(n+2) + (n+2)^2 = n^2 + n^2 + 2n + n^2 + 4n + 4 = 3n^2 + 6n + 4 \] Таким образом, каждая пара чисел можно представить в виде: \[ 3n^2 + 6n + 4 \]

Теперь мы можем выразить всю сумму как \[ \sum_{n=1}^{99} (3n^2 + 6n + 4) \] Эту сумму можно разбить на три отдельных суммы: \[ 3 \sum_{n=1}^{99} n^2 + 6 \sum_{n=1}^{99} n + \sum_{n=1}^{99} 4 \]

Мы знаем формулы для сумм:

• Сумма квадратов первых \( N \) натуральных чисел: \[ \sum_{k=1}^{N} k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} \]
• Сумма первых \( N \) натуральных чисел: \[ \sum_{k=1}^{N} k = \frac{N(N+1)}{2} \]
• Сумма \( k \) раз: \[ \sum_{k=1}^{N} c = cN \]

Теперь подставим \( N = 99 \) в формулы:

1. Для суммы квадратов: \[ \sum_{n=1}^{99} n^2 = \frac{99 \cdot 100 \cdot 199}{6} = 328350 \]
2. Для суммы натуральных чисел: \[ \sum_{n=1}^{99} n = \frac{99 \cdot 100}{2} = 4950 \]
3. Для суммы четырех, 99 раз: \[ \sum_{n=1}^{99} 4 = 4 \cdot 99 = 396 \]

Теперь подставим все эти результаты в наше выражение: \[ S = 3 \cdot 328350 + 6 \cdot 4950 + 396 \] Теперь посчитаем каждую часть:

1. \( 3 \cdot 328350 = 985050 \)
2. \( 6 \cdot 4950 = 29700 \)
3. Сложив их с суммой четырёх: \[ S = 985050 + 29700 + 396 = 1014146 \]

Таким образом, значение выражения \[ (1^2+1 \times 3+3^2)+...+(99^2+99 \times 101+101^2) = 1014146. \]

Ответ: \[ 1014146 \]