сколько будет (1²+1×3+3²)+(5²+5×7+7²)+(9²+9×11+11²)...(99²+99×101+101²)
Чтобы решить данное выражение, давайте сначала разложим каждую часть, используя формулу:
\[ a^2 + ab + b^2 = \frac{1}{2} ((a + b)^2 + a^2 + b^2) \]
В нашем случае мы имеем последовательности, где \( a \) и \( b \) являются последовательными нечетными числами, начиная с 1. Давайте разберем каждую группу (например, \( (1² + 1×3 + 3²) \)).
Для первой группы: \[ 1^2 + 1×3 + 3^2 = 1 + 3 + 9 = 13 \]
Для второй группы: \[ 5^2 + 5×7 + 7^2 = 25 + 35 + 49 = 109 \]
Для третьей группы: \[ 9^2 + 9×11 + 11^2 = 81 + 99 + 121 = 301 \]
Теперь обратим внимание на обобщающую формулу. Если мы заметим, что \( a \) — это нечетные числа от 1 до 99, а \( b \) — это следующее нечетное число, то можно выразить каждую группу в виде \( n^2 + n(n+2) + (n+2)^2 \) для \( n = 1, 5, 9, ..., 99 \).
Существует общий тренд, показывающий, что внешний вид этой суммируемой функции может быть упрощён. Мы ищем сумму от \( n=1 \) до \( n=99 \) каждого труда.
Как же можно это упростить? Каждая группа фактически соответствует квадрату суммы:
\[ S = \sum_{k=0}^{24} ((4k + 1)^2 + (4k + 1)(4k + 3) + (4k + 3)^2) \]
Получив всё это, давайте вычислим \( S \).
Итак, посчитаем:
\[ S = \sum_{k=0}^{24} (13 + 109 + 301) = 13 + 109 + 301 * 25 \]
И в итоге,
\[ S = 13 + 109 + 301 * 25 = 13 + 109 + 7525 = 7647 \]
Таким образом, общая сумма выражения равна 7647.
