Найдите корни многочлена 1 (х); 2) f (х) г y3+ 4 у+ Бу+4; f (x) = y3+ y2 - 16y +20.
Давайте найдем корни многочлена \( f(y) = y^3 + y^2 - 16y + 20 \).
Чтобы найти корни многочлена, можно использовать метод подбора, а также теорему о racional'ных корнях. Сначала попробуем найти возможные рациональные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни — это делители свободного члена (в данном случае 20) деленные на делители главного коэффициента (в данном случае 1). Таким образом, возможные корни: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20 \).
Теперь подберем эти значения:
\( y = 1 \): \[ f(1) = 1^3 + 1^2 - 16 \cdot 1 + 20 = 1 + 1 - 16 + 20 = 6 \quad (\text{не корень}) \]
\( y = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 16 \cdot (-1) + 20 = -1 + 1 + 16 + 20 = 36 \quad (\text{не корень}) \]
\( y = 2 \): \[ f(2) = 2^3 + 2^2 - 16 \cdot 2 + 20 = 8 + 4 - 32 + 20 = 0 \quad (\text{корень}) \]
Теперь мы нашли один корень \( y = 2 \). Теперь можно использовать деление многочлена, чтобы найти другие корни. Разделим \( f(y) \) на \( y - 2 \).
Для деления используем схему Горнера:
\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & 1 & -16 & 20 \\ & & 2 & 6 & -20 \\ \hline & 1 & 3 & -10 & 0 \\ \end{array} \]
Результат деления: \( y^2 + 3y - 10 \).
Теперь найдем корни квадратного уравнения \( y^2 + 3y - 10 = 0 \) с помощью формулы корней:
\[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} = \frac{{-3 \pm \sqrt{{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-3 \pm \sqrt{{9 + 40}}}}{2} = \frac{{-3 \pm \sqrt{49}}}{2} = \frac{{-3 \pm 7}}{2} \]
Итак, у нас есть два корня:
- \( y_1 = \frac{{4}}{2} = 2 \)
- \( y_2 = \frac{{-10}}{2} = -5 \)
Следовательно, корни многочлена \( f(y) = y^3 + y^2 - 16y + 20 \) — это:
- \( y_1 = 2 \)
- \( y_2 = -5 \)
- Корень \( y = 2 \) найдён дважды.
Таким образом, окончательные корни: \( y = 2, y = 2, y = -5 \).
