Две планеты с одинаковыми массами обращаются по круговым орбитам вокруг звезды. Для первой из них сила притяжения к звезде в 4 раза больше, чем для второй. Каково отношение радиусов орбит первой и второй планет?

Сила гравитационного притяжения, действующая на планету, описывается законом всемирного тяготения Ньютона:

\[ F = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^2}, \]

где \( F \) — сила притяжения, \( G \) — гравитационная постоянная, \( M \) — масса звезды, \( m \) — масса планеты, и \( r \) — радиус орбиты планеты.

Обозначим силы притяжения для первой планеты как \( F_1 \), а для второй как \( F_2 \). По условию задачи, \( F_1 = 4 \cdot F_2 \).

Для первой планеты:

\[ F_1 = \frac{G \cdot M \cdot m}{r_1^2}, \]

а для второй планеты:

\[ F_2 = \frac{G \cdot M \cdot m}{r_2^2}. \]

Подставим \( F_2 \) в выражение для \( F_1 \):

\[ F_1 = 4 \cdot F_2 \]

\[ \frac{G \cdot M \cdot m}{r_1^2} = 4 \cdot \frac{G \cdot M \cdot m}{r_2^2}. \]

Сократив одинаковые множители \( G \), \( M \) и \( m \) (предполагая, что масса звезды и планет одинаковая), мы получаем:

\[ \frac{1}{r_1^2} = 4 \cdot \frac{1}{r_2^2}. \]

Переписываем уравнение:

\[ r_2^2 = 4 \cdot r_1^2. \]

Теперь найдём отношение радиусов \( \frac{r_1}{r_2} \):

\[ \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{1}{4} \]

\[ \frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}. \]

Таким образом, отношение радиусов орбит первой и второй планет равно \( \frac{1}{2} \).