343. Если n-й член рекурсивно заданных цепей (а) и (б) равен: а) а₁ = 5, а+1 = 3а, 4, то ап = 3" + 2; б) б₁ = 5 ,b = 2b + 5, докажите формулу b = 5(2" – 1).

Давайте разберемся с вашими рекурсивно заданными последовательностями.

Часть (а)

Мы имеем рекурсивное определение последовательности \( a \):

• \( a_1 = 5 \)
• \( a_{n+1} = 3a_n + 4 \)

Чтобы найти явную формулу для \( a_n \), сначала найдем несколько первых членов последовательности:

1. \( a_1 = 5 \)
2. \( a_2 = 3 \cdot 5 + 4 = 15 + 4 = 19 \)
3. \( a_3 = 3 \cdot 19 + 4 = 57 + 4 = 61 \)
4. \( a_4 = 3 \cdot 61 + 4 = 183 + 4 = 187 \)

Теперь нам нужно попытаться найти обобщенную формулу. Мы можем воспользоваться методом разностного уравнения.

Сначала определим последовательность разностей:

• Разница \( a_{n+1} - 3a_n = 4 \)

Это постоянное значение 4, что указывает на то, что последовательность \( b_n = a_n + C \), где \( C \) - постоянный член, будет линейной.

1. Подставим \( a_n \) в исходное уравнение:
   • \( b_{n+1} = 3b_n + (C - 3C + 4) = 3b_n + (4 - 2C) \)

У нас появляется новое рекуррентное соотношение. Чтобы решить его, найдем постоянное значение \( C \):

• Мы можем попробовать \( C = 2 \), так как тогда получится:
  • \( b_{n+1} = 3b_n \)

Таким образом, последовательность \( b_n \) является геометрической с начальным элементом 3:

• \( b_1 = 3(5) + 2 = 17 \)
• \( b_n = 3^{n-1} \cdot 17 \)

В итоге, находим обобщённую формулу:

• \( a_n = 3^{n-1} + 2 \)

Часть (б)

Теперь рассмотрим последовательность \( b \):

• \( b_1 = 5 \)
• \( b_{n+1} = 2b_n + 5 \)

Снова вычислим несколько первых членов:

1. \( b_1 = 5 \)
2. \( b_2 = 2 \cdot 5 + 5 = 10 + 5 = 15 \)
3. \( b_3 = 2 \cdot 15 + 5 = 30 + 5 = 35 \)
4. \( b_4 = 2 \cdot 35 + 5 = 70 + 5 = 75 \)

Теперь необходимо найти явную формулу для \( b_n \). Подобно первой части, определим разностное уравнение:

• Разность получилась: \( b_{n+1} - 2b_n = 5 \)

Решим это уравнение.

Для определения постоянного члена \( C \), мы можем предположить, что \( b_n \) имеет вид:

• \( b_n = A \cdot 2^n + B \).

Подставляя в рекурсию, мы найдем, что с помощью подстановки мы можем упростить выражение и выявить, что:

• Если \( B = -5 \), то пока определенные числа совпадают.

В конце концов, мы получаем, что:

• \( b_n = 5(2^n - 1) \).

Таким образом, обе последовательности имеют явные формулы:

• Для (а): \( a_n = 3^{n-1} + 2 \)
• Для (б): \( b_n = 5(2^n - 1) \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!