Хорда окружности x^2 + y^2 =1 лежит на прямой 4y+3x-4=0. найдите длину хорды

Чтобы найти длину хорды окружности \(x^2 + y^2 = 1\), которая лежит на прямой \(4y + 3x - 4 = 0\), необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найти точки пересечения прямой и окружности.

   Начнем с того, что выразим \(y\) из уравнения прямой:

   \[ 4y + 3x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4y = -3x + 4 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{3}{4}x + 1 \]

   Теперь подставим это выражение для \(y\) в уравнение окружности:

   \[ x^2 + \left(-\frac{3}{4}x + 1\right)^2 = 1 \]

   Раскроем квадрат:

   \[ x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 - \frac{3}{2}x + 1\right) = 1 \]

   Объединим все члены:

   \[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 - \frac{3}{2}x + 1 = 1 \]

   Упростим уравнение:

   \[ \left(1 + \frac{9}{16}\right)x^2 - \frac{3}{2}x + 1 - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{25}{16}x^2 - \frac{3}{2}x = 0 \]

   Мы можем вынести \(x\) за скобки:

   \[ x\left(\frac{25}{16}x - \frac{3}{2}\right) = 0 \]

   Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(x\):

   1. \(x = 0\)

   2. \(\frac{25}{16}x = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{25} = \frac{24}{25}\)

   Теперь находим соответствующие значения \(y\):

   1. Если \(x = 0\), подставляем в уравнение прямой: \[ y = 1 \] Точка: \( (0, 1) \)

   2. Если \(x = \frac{24}{25}\): \[ y = -\frac{3}{4} \cdot \frac{24}{25} + 1 = -\frac{72}{100} + 1 = 1 - 0.72 = 0.28 \] Точка: \( \left(\frac{24}{25}, 0.28\right) \)

   Теперь у нас есть две точки пересечения: \( (0, 1) \) и \( \left(\frac{24}{25}, 0.28\right) \).

2. Найти длину хорды.

   Длина хорды \(d\) между двумя точками \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\) определяется по формуле:

   \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

   Подставляем значения: \( A(0, 1) \) и \( B\left(\frac{24}{25}, 0.28\right) \):

   \[ d = \sqrt{\left(\frac{24}{25} - 0\right)^2 + \left(0.28 - 1\right)^2} \] \[ = \sqrt{\left(\frac{24}{25}\right)^2 + \left(-0.72\right)^2} \] \[ = \sqrt{\frac{576}{625} + 0.5184} \] Преобразуем \(0.5184\) в дробь: \[ 0.5184 = \frac{5184}{10000} = \frac{324}{625} \] Теперь суммируем: \[ = \sqrt{\frac{576 + 324}{625}} = \sqrt{\frac{900}{625}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5} = 1.2 \]

Таким образом, длина хорды составляет \(1.2\) единицы.