Докажите, что значение выражения равно нулю при любом y . 6 | 3 y − 4 | − 2 | 9 y − 11 | + 2
Давайте подробно разберем данное выражение:
\[ 6 |3y - 4| - 2 |9y - 11| + 2 \]
Чтобы показать, что значение этого выражения равно нулю при любом \(y\), рассмотрим два абсолютных значения по отдельности.
Разберем первое абсолютное значение: \( |3y - 4| \)
Это выражение может принимать два разных значения в зависимости от \(y\):
- Если \(3y - 4 \ge 0\) (то есть \(y \ge \frac{4}{3}\)), то \( |3y - 4| = 3y - 4 \).
- Если \(3y - 4 < 0\) (то есть \(y < \frac{4}{3}\)), то \( |3y - 4| = -(3y - 4) = 4 - 3y \).
Разберем второе абсолютное значение: \( |9y - 11| \)
Аналогично, это выражение также имеет два возможных случая:
- Если \(9y - 11 \ge 0\) (то есть \(y \ge \frac{11}{9}\)), то \( |9y - 11| = 9y - 11 \).
- Если \(9y - 11 < 0\) (то есть \(y < \frac{11}{9}\)), то \( |9y - 11| = -(9y - 11) = 11 - 9y \).
Теперь давайте подставим полученные значения в исходное выражение в зависимости от диапазона \(y\).
Случай 1: \(y \ge \frac{11}{9}\)
В этом случае:
- \( |3y - 4| = 3y - 4 \)
- \( |9y - 11| = 9y - 11 \)
Подставим эти значения:
\[ 6(3y - 4) - 2(9y - 11) + 2 = 18y - 24 - 18y + 22 + 2 \]
Упрощаем:
\[ (-24 + 22 + 2) = 0 \]
Случай 2: \( \frac{4}{3} \le y < \frac{11}{9} \)
Здесь:
- \( |3y - 4| = 3y - 4 \)
- \( |9y - 11| = 11 - 9y \)
Подставляем:
\[ 6(3y - 4) - 2(11 - 9y) + 2 = 18y - 24 - 22 + 18y + 2 \]
Упрощаем:
\[ (18y + 18y - 24 - 22 + 2) = 0 \]
Случай 3: \(y < \frac{4}{3}\)
В этом случае:
- \( |3y - 4| = 4 - 3y \)
- \( |9y - 11| = 11 - 9y \)
Подставляем:
\[ 6(4 - 3y) - 2(11 - 9y) + 2 = 24 - 18y - 22 + 18y + 2 \]
Упрощаем:
\[ (24 - 22 + 2) = 0 \]
Во всех трех случаях мы пришли к одной и той же оценке:
Таким образом, можно утверждать, что значение данного выражения равно нулю для любого значения \(y\).
