Стержень массой 200 грамм длиной 40 см подвешен за конец. Горизонтально летящая со скоростью 10 м/с на высоте 10 см от нижнего края стержня пуля массой 10 грамм попадает в него и прилипает. Определить угловую скорость стержня после удара пули. Решение с чертежами

Question 1

Задача Задача №2174777

А

Аноним

11 ноября 2024 05:25 · публичный вопрос

А

Аноним 11 ноября 2024 05:25

Стержень массой 200 грамм длиной 40 см подвешен за конец. Горизонтально летящая со скоростью 10 м/с на высоте 10 см от нижнего края стержня пуля массой 10 грамм попадает в него и прилипает. Определить угловую скорость стержня после удара пули. Решение с чертежами

Answer

Для решения задачи о столкновении пули со стержнем, воспользуемся законом сохранения импульса и динамикой вращения.

Дано:

Масса стержня, \(m_{ст} = 200 \, \text{г} = 0.2 \, \text{кг}\)
Длина стержня, \(L = 40 \, \text{см} = 0.4 \, \text{м}\)
Скорость пули, \(v_{п} = 10 \, \text{м/c}\)
Масса пули, \(m_{п} = 10 \, \text{г} = 0.01 \, \text{кг}\)
Высота от нижнего края стержня, на которой попадает пуля, \(h = 10 \, \text{см} = 0.1 \, \text{м}\)

Шаг 1: Найдем момент импульса пули относительно оси вращения стержня.

Пуля попадает в стержень на высоте \(0.1 \, \text{м}\) от нижнего конца. Поскольку стержень подвешен за конец, его ось вращения находится на расстоянии \(0.4 \, \text{м}\), а расстояние от оси до места удара равно \(r = L - h = 0.4 - 0.1 = 0.3 \, \text{м}\).

Момент импульса pули относительно оси вращения: \[ L_{п} = m_{п} \cdot v_{п} \cdot r = 0.01 \cdot 10 \cdot 0.3 = 0.03 \, \text{кг \cdot м}^2/\text{с} \]

Шаг 2: Найдем момент инерции стержня и пули.

Момент инерции стержня относительно конца: \[ I_{ст} = \frac{1}{3} m_{ст} L^2 = \frac{1}{3} \cdot 0.2 \cdot (0.4)^2 = \frac{1}{3} \cdot 0.2 \cdot 0.16 = \frac{0.032}{3} \approx 0.01067 \, \text{кг \cdot м}^2 \]
Для пули, которая прилипает к стержню, момент инерции можно рассчитать по формуле: \[ I_{п} = m_{п} \cdot r^2 = 0.01 \cdot (0.3)^2 = 0.01 \cdot 0.09 = 0.0009 \, \text{кг \cdot м}^2 \]
Общий момент инерции после столкновения: \[ I_{общ} = I_{ст} + I_{п} = 0.01067 + 0.0009 = 0.01157 \, \text{кг \cdot м}^2 \]

Шаг 3: Используем закон сохранения момента импульса.

Перед столкновением момент импульса пули равен: \[ L_{п} = I_{общ} \cdot \omega \] где \(\omega\) — искомая угловая скорость после удара.

Подставим известные значения: \[ 0.03 = 0.01157 \cdot \omega \] Следовательно: \[ \omega = \frac{0.03}{0.01157} \approx 2.59 \, \text{рад/с} \]

Ответ:

Угловая скорость стержня после удара пули составляет примерно \(2.59 \, \text{рад/с}\).

Question 2

стержень массой 200 грамм длиной 40 см подвешен за конец. Горизонтально летящая со скоростью 10 м/с на высоте 10 см от нижнего края стержня пуля массой 10 грамм попадает в него и прилипает. Определить угловую скорость стержня после удара пули. Решение с чертежами

Answer

Для решения задачи о столкновении пули со стержнем, воспользуемся законом сохранения импульса и динамикой вращения. ### Дано: - Масса стержня, \(m_{ст} = 200 \, \text{г} = 0.2 \, \text{кг}\) - Длина стержня, \(L = 40 \, \text{см} = 0.4 \, \text{м}\) - Скорость пули, \(v_{п} = 10 \, \text{м/c}\) - Масса пули, \(m_{п} = 10 \, \text{г} = 0.01 \, \text{кг}\) - Высота от нижнего края стержня, на которой попадает пуля, \(h = 10 \, \text{см} = 0.1 \, \text{м}\) ### Шаг 1: Найдем момент импульса пули относительно оси вращения стержня. Пуля попадает в стержень на высоте \(0.1 \, \text{м}\) от нижнего конца. Поскольку стержень подвешен за конец, его ось вращения находится на расстоянии \(0.4 \, \text{м}\), а расстояние от оси до места удара равно \(r = L - h = 0.4 - 0.1 = 0.3 \, \text{м}\). Момент импульса pули относительно оси вращения: \[ L_{п} = m_{п} \cdot v_{п} \cdot r = 0.01 \cdot 10 \cdot 0.3 = 0.03 \, \text{кг \cdot м}^2/\text{с} \] ### Шаг 2: Найдем момент инерции стержня и пули. 1. Момент инерции стержня относительно конца: \[ I_{ст} = \frac{1}{3} m_{ст} L^2 = \frac{1}{3} \cdot 0.2 \cdot (0.4)^2 = \frac{1}{3} \cdot 0.2 \cdot 0.16 = \frac{0.032}{3} \approx 0.01067 \, \text{кг \cdot м}^2 \] 2. Для пули, которая прилипает к стержню, момент инерции можно рассчитать по формуле: \[ I_{п} = m_{п} \cdot r^2 = 0.01 \cdot (0.3)^2 = 0.01 \cdot 0.09 = 0.0009 \, \text{кг \cdot м}^2 \] 3. Общий момент инерции после столкновения: \[ I_{общ} = I_{ст} + I_{п} = 0.01067 + 0.0009 = 0.01157 \, \text{кг \cdot м}^2 \] ### Шаг 3: Используем закон сохранения момента импульса. Перед столкновением момент импульса пули равен: \[ L_{п} = I_{общ} \cdot \omega \] где \(\omega\) — искомая угловая скорость после удара. Подставим известные значения: \[ 0.03 = 0.01157 \cdot \omega \] Следовательно: \[ \omega = \frac{0.03}{0.01157} \approx 2.59 \, \text{рад/с} \] ### Ответ: Угловая скорость стержня после удара пули составляет примерно \(2.59 \, \text{рад/с}\).