. В данной местности белые грибы составляют в среднем 20% от общего числа всех съедобных грибов, которые можно найти в лесу. Грибник в течение некоторого промежутка времени нашел 4 съедобных гриба. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа белых грибов среди найденных.

Question 1

Задача Задача №2174991

А

Аноним

11 ноября 2024 05:45 · публичный вопрос

А

Аноним 11 ноября 2024 05:45

. В данной местности белые грибы составляют в среднем 20% от общего числа всех съедобных грибов, которые можно найти в лесу. Грибник в течение некоторого промежутка времени нашел 4 съедобных гриба. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа белых грибов среди найденных.

Answer

Чтобы составить закон распределения дискретной случайной величины \( X \), представляющей количество белых грибов среди найденных, нужно использовать распределение Бернулли, так как каждый гриб может быть либо белым, либо не белым, с фиксированной вероятностью.

Обозначим:

\( p = 0.2 \) — вероятность того, что найденный гриб белый,
\( q = 1 - p = 0.8 \) — вероятность того, что гриб не белый,
\( n = 4 \) — общее количество найденных грибов.

Случайная величина \( X \) может принимать значения от 0 до 4, поскольку грибник мог найти от 0 до 4 белых грибов.

Закон распределения \( X \) можно найти с помощью биномиального распределения, где:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент, \( k \) — количество белых грибов (от 0 до 4).

Теперь рассчитаем вероятности для всех значений \( k \):

Для \( k = 0 \) (0 белых грибов): \[ P(X = 0) = C(4, 0) \cdot (0.2)^0 \cdot (0.8)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.4096 = 0.4096 \]
Для \( k = 1 \) (1 белый гриб): \[ P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^3 = 4 \cdot 0.2 \cdot 0.512 = 0.4096 \]
Для \( k = 2 \) (2 белых гриба): \[ P(X = 2) = C(4, 2) \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^2 = 6 \cdot 0.04 \cdot 0.64 = 0.1536 \]
Для \( k = 3 \) (3 белых гриба): \[ P(X = 3) = C(4, 3) \cdot (0.2)^3 \cdot (0.8)^1 = 4 \cdot 0.008 \cdot 0.8 = 0.0256 \]
Для \( k = 4 \) (4 белых гриба): \[ P(X = 4) = C(4, 4) \cdot (0.2)^4 \cdot (0.8)^0 = 1 \cdot 0.0016 \cdot 1 = 0.0016 \]

Теперь можно составить закон распределения случайной величины \( X \):

\[ \begin{align*} P(X = 0) & = 0.4096 \\ P(X = 1) & = 0.4096 \\ P(X = 2) & = 0.1536 \\ P(X = 3) & = 0.0256 \\ P(X = 4) & = 0.0016 \\ \end{align*} \]

Таким образом, мы получили закон распределения для случайной величины \( X \). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!

Question 2

. В данной местности белые грибы составляют в среднем 20% от общего числа всех съедобных грибов, которые можно найти в лесу. Грибник в течение некоторого промежутка времени нашел 4 съедобных гриба. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа белых грибов среди найденных.

Answer

Чтобы составить закон распределения дискретной случайной величины \( X \), представляющей количество белых грибов среди найденных, нужно использовать распределение Бернулли, так как каждый гриб может быть либо белым, либо не белым, с фиксированной вероятностью. Обозначим: - \( p = 0.2 \) — вероятность того, что найденный гриб белый, - \( q = 1 - p = 0.8 \) — вероятность того, что гриб не белый, - \( n = 4 \) — общее количество найденных грибов. Случайная величина \( X \) может принимать значения от 0 до 4, поскольку грибник мог найти от 0 до 4 белых грибов. Закон распределения \( X \) можно найти с помощью биномиального распределения, где: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент, \( k \) — количество белых грибов (от 0 до 4). Теперь рассчитаем вероятности для всех значений \( k \): 1. **Для \( k = 0 \)** (0 белых грибов): \[ P(X = 0) = C(4, 0) \cdot (0.2)^0 \cdot (0.8)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.4096 = 0.4096 \] 2. **Для \( k = 1 \)** (1 белый гриб): \[ P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^3 = 4 \cdot 0.2 \cdot 0.512 = 0.4096 \] 3. **Для \( k = 2 \)** (2 белых гриба): \[ P(X = 2) = C(4, 2) \cdot (0.2)^2 \cdot (0.8)^2 = 6 \cdot 0.04 \cdot 0.64 = 0.1536 \] 4. **Для \( k = 3 \)** (3 белых гриба): \[ P(X = 3) = C(4, 3) \cdot (0.2)^3 \cdot (0.8)^1 = 4 \cdot 0.008 \cdot 0.8 = 0.0256 \] 5. **Для \( k = 4 \)** (4 белых гриба): \[ P(X = 4) = C(4, 4) \cdot (0.2)^4 \cdot (0.8)^0 = 1 \cdot 0.0016 \cdot 1 = 0.0016 \] Теперь можно составить закон распределения случайной величины \( X \): \[ \begin{align*} P(X = 0) & = 0.4096 \\ P(X = 1) & = 0.4096 \\ P(X = 2) & = 0.1536 \\ P(X = 3) & = 0.0256 \\ P(X = 4) & = 0.0016 \\ \end{align*} \] Таким образом, мы получили закон распределения для случайной величины \( X \). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!