Х²+8х-9≥0

Чтобы решить неравенство \( х² + 8х - 9 \geq 0 \), давайте сначала найдем корни соответствующего уравнения \( x² + 8x - 9 = 0 \) с помощью дискриминанта.

Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[ D = b² - 4ac \]

где \( a = 1 \), \( b = 8 \), \( c = -9 \). Подставим значения:

\[ D = 8² - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \]

Так как дискриминант положительный, у уравнения два различны корня, которые можно найти по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляя значения, получаем:

\[ x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 10}{2} \]

Теперь рассчитаем корни:

\[ x_1 = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \]

Теперь у нас есть корни \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -9 \). Далее, для нахождения интервалов, где нетравенство выполняется, нужно определить знак многочлена \( x² + 8x - 9 \) в интервалах, разделенных корнями: \( (-\infty, -9) \), \( (-9, 1) \) и \( (1, +\infty) \).

1. В интервале \( (-\infty, -9) \), например, возьмем \( x = -10 \): \[ (-10)² + 8 \cdot (-10) - 9 = 100 - 80 - 9 = 11 \geq 0 \] Знак положительный.

2. В интервале \( (-9, 1) \), например, возьмем \( x = 0 \): \[ 0² + 8 \cdot 0 - 9 = -9 < 0 \] Знак отрицательный.

3. В интервале \( (1, +\infty) \), например, возьмем \( x = 2 \): \[ 2² + 8 \cdot 2 - 9 = 4 + 16 - 9 = 11 \geq 0 \] Знак положительный.

Теперь мы можем заключить, что неравенство \( x² + 8x - 9 \geq 0 \) выполняется в интервалах \( (-\infty, -9] \) и \( [1, +\infty) \).

Таким образом, окончательный ответ:

\[ x \in (-\infty, -9] \cup [1, +\infty) \]