Y= x^3+3/x найти экстремум
Чтобы найти экстремумы функции \(y = x^3 + \frac{3}{x}\), необходимо выполнить несколько шагов, включая нахождение производной и определение критических точек.
Нахождение первой производной:
Для функции \(y = x^3 + \frac{3}{x}\) вычислим первую производную \(y'\):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(x^3\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{x}\right) = 3x^2 - \frac{3}{x^2} \]
Поиск критических точек:
Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:
\[ 3x^2 - \frac{3}{x^2} = 0 \]
Умножим уравнение на \(x^2\) (при условии, что \(x \neq 0\)):
\[ 3x^4 - 3 = 0 \]
Разделим на 3:
\[ x^4 - 1 = 0 \]
Теперь решим это уравнение:
\[ (x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0 \]
Из этого следует:
\[ x^2 - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \text{ или } x = -1 \]
\(x^2 + 1 = 0\) не имеет вещественных решений.
Таким образом, критические точки: \(x = 1\) и \(x = -1\).
Проверка второго производного теста:
Теперь найдем вторую производную:
\[ y'' = \frac{d}{dx}\left(3x^2 - \frac{3}{x^2}\right) = 6x + \frac{6}{x^3} \]
Теперь подставим критические точки в вторую производную:
Для \(x = 1\):
\[ y''(1) = 6(1) + \frac{6}{(1)^3} = 6 + 6 = 12 > 0 \]
Это указывает на наличие минимума в точке \(x = 1\).
Для \(x = -1\):
\[ y''(-1) = 6(-1) + \frac{6}{(-1)^3} = -6 - 6 = -12 < 0 \]
Это указывает на наличие максимума в точке \(x = -1\).
Результат:
- Минимум функции при \(x = 1\).
- Максимум функции при \(x = -1\).
Далее можно подставить значения \(x\) в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения \(y\), если это необходимо.
