2х²-7х+5<0 2-х≥0 с координатной прямой
Чтобы решить неравенство \( 2x^2 - 7x + 5 < 0 \), начнем с поиска корней соответствующего уравнения \( 2x^2 - 7x + 5 = 0 \). Это поможет определить, на каких промежутках функция \( 2x^2 - 7x + 5 \) принимает отрицательные значения.
Формула для решения квадратного уравнения: Используем формулу: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 2 \), \( b = -7 \), и \( c = 5 \).
Подставляем значения: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 \] Дискриминант \( D \) положителен, значит уравнение имеет два различных корня.
Теперь находим корни: \[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \] \[ x_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]
Таким образом, корни уравнения \( 2x^2 - 7x + 5 = 0 \): \( x_1 = 2.5 \) и \( x_2 = 1 \).
Анализ знаков многочлена: Теперь мы анализируем знак многочлена \( 2x^2 - 7x + 5 \) на интервалах:
- \( (-\infty, 1) \)
- \( (1, 2.5) \)
- \( (2.5, +\infty) \)
Выберем по одному числу из каждого интервала и подставим его в многочлен:
- Для интервала \( (-\infty, 1) \), например, \( x = 0 \): \[ 2(0)^2 - 7(0) + 5 = 5 > 0 \]
- Для интервала \( (1, 2.5) \), например, \( x = 2 \): \[ 2(2)^2 - 7(2) + 5 = 8 - 14 + 5 = -1 < 0 \]
- Для интервала \( (2.5, +\infty) \), например, \( x = 3 \): \[ 2(3)^2 - 7(3) + 5 = 18 - 21 + 5 = 2 > 0 \]
Таким образом, \( 2x^2 - 7x + 5 < 0 \) на промежутке \( (1, 2.5) \).
Условие \( 2 - x \geq 0 \): Теперь решим неравенство \( 2 - x \geq 0 \): \[ x \leq 2 \] То есть, \( x \) должно быть меньше или равно 2.
Объединение условий: Объединяем найденные промежутки. Мы искали \( x \) в интервале \( (1, 2.5) \) и при этом \( x \leq 2 \). Таким образом, конечный ответ: \[ x \in (1, 2] \]
На координатной прямой это будет следующая область: открытая точка в 1 (не включается) и закрытая точка в 2 (включается).
