Простейшее тригонометрическое тождество 3+9 cos t = 5sin ²t

Для решения тригонометрического тождества \( 3 + 9 \cos t = 5 \sin^2 t \), давайте сначала вспомним, что существует соотношение между синусом и косинусом, а именно:

\[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1. \]

Отсюда можно выразить \( \sin^2 t \) через \( \cos^2 t \):

\[ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t. \]

Теперь подставим это выражение в наши уравнение:

\[ 3 + 9 \cos t = 5(1 - \cos^2 t). \]

Раскроем скобки:

\[ 3 + 9 \cos t = 5 - 5 \cos^2 t. \]

Теперь приведем все к одной стороне уравнения:

\[ 5 \cos^2 t + 9 \cos t + 3 - 5 = 0, \]

что упрощается до:

\[ 5 \cos^2 t + 9 \cos t - 2 = 0. \]

Теперь это квадратное уравнение, и мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ \cos t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]

Где \( a = 5, b = 9, c = -2 \). Теперь подставим значения:

\[ \cos t = \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2)}}{2 \cdot 5}. \]

Посчитаем дискриминант:

\[ D = 81 + 40 = 121. \]

Теперь найдем корни:

\[ \cos t = \frac{-9 \pm 11}{10}. \]

Посчитаем два возможных значения:

1. \( \cos t = \frac{2}{10} = 0.2 \)
2. \( \cos t = \frac{-20}{10} = -2 \) (это значение не может быть, так как косинус находится в диапазоне от -1 до 1).

Таким образом, единственное решение:

\[ \cos t = 0.2. \]

Теперь, чтобы найти \( t \), можем использовать арккосинус:

\[ t = \arccos(0.2). \]

Это решение поможет вам понять, как решать это тригонометрическое тождество, и может быть полезным для будущих задач!