56. Функция задана формулой f(x) = (0, 5x - 1)/6 При каких значениях х: a) f(x) = 0 6) f(x) > 0 B) f(x) < 0 ? 73. Постройте график функции у = х². Найдите: 1 а) значение у при х = -2,5; 1,5; 3,5; 4 б) значения х, при которых у=5; 3; 2; в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции. 86. Решите уравнение (x + 3) ^ 2 - (x - 3) ^ 2 = (x - 2) ^ 2 + (x + 2) ^ 2 и отметьте его координатной прямой
Конечно, давайте разберём каждый из заданий по порядку.
Задание 56
Функция задана формулой \( f(x) = \frac{0.5x - 1}{6} \).
а) Найдите, при каких значениях \( x \) \( f(x) = 0 \): Для нахождения \( x \), когда \( f(x) = 0 \), нужно приравнять формулу к нулю:
\[ \frac{0.5x - 1}{6} = 0 \]
Умножим обе стороны на 6:
\[ 0.5x - 1 = 0 \]
Теперь решим уравнение:
\[ 0.5x = 1 \implies x = 2 \]
Таким образом, \( f(x) = 0 \) при \( x = 2 \).
б) Найдите, при каких значениях \( x \) \( f(x) > 0 \): Для этого произведём неравенство:
\[ \frac{0.5x - 1}{6} > 0 \]
Умножим обе стороны на 6 (так как 6 положительно):
\[ 0.5x - 1 > 0 \]
Решаем неравенство:
\[ 0.5x > 1 \implies x > 2 \]
Таким образом, \( f(x) > 0 \) при \( x > 2 \).
в) Найдите, при каких значениях \( x \) \( f(x) < 0 \): Аналогично, решаем неравенство:
\[ \frac{0.5x - 1}{6} < 0 \]
Умножим на 6:
\[ 0.5x - 1 < 0 \]
Решаем неравенство:
\[ 0.5x < 1 \implies x < 2 \]
Таким образом, \( f(x) < 0 \) при \( x < 2 \).
Задание 73
Создадим график функции \( y = x^2 \).
а) Найдите значение \( y \) при \( x = -2.5; 1.5; 3.5 \):
- Для \( x = -2.5 \): \[ y = (-2.5)^2 = 6.25 \]
- Для \( x = 1.5 \): \[ y = (1.5)^2 = 2.25 \]
- Для \( x = 3.5 \): \[ y = (3.5)^2 = 12.25 \]
б) Найдите значения \( x \), при которых \( y = 5; 3; 2 \):
- Для \( y = 5 \): \[ x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5} \approx \pm 2.24 \]
- Для \( y = 3 \): \[ x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1.73 \]
- Для \( y = 2 \): \[ x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1.41 \]
в) Определите промежутки возрастания и убывания функции: Функция \( y = x^2 \) возрастает на промежутке \( (0, +\infty) \) и убывает на промежутке \( (-\infty, 0) \).
Задание 86
Решим уравнение \( (x + 3)^2 - (x - 3)^2 = (x - 2)^2 + (x + 2)^2 \).
Сначала упростим левую часть:
\[ (x + 3 - (x - 3))(x + 3 + (x - 3)) = (6)(2x) = 12x \]
Теперь упростим правую часть:
\[ (x - 2)^2 + (x + 2)^2 = (x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 4x + 4) = 2x^2 + 8 \]
Получаем уравнение:
\[ 12x = 2x^2 + 8 \]
Переведем всё в одну сторону:
\[ 2x^2 - 12x + 8 = 0 \]
Упростим:
\[ x^2 - 6x + 4 = 0 \]
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20 \]
Корни:
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \]
Таким образом, уравнение имеет два корня: \( x = 3 + \sqrt{5} \) и \( x = 3 - \sqrt{5} \).
На координатной прямой отметьте оба корня.
Если возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
