Постройте график функции и найдите по графику 1) нули функции 2) промежутки в который f(x)<0, f(x) >0 3) промежутки убывания и возрастание 4) область значение f(x) = x2 -6x+4

Для построения графика функции \( f(x) = x^2 - 6x + 4 \) и выполнения поставленных задач, начнем с определения некоторых характеристик функции.

1. Найдем нули функции: Нули функции находятся при решении уравнения: \[ x^2 - 6x + 4 = 0. \] Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20. \] Теперь находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}. \] Таким образом, нули функции: \[ x_1 = 3 - \sqrt{5}, \quad x_2 = 3 + \sqrt{5}. \]

2. Промежутки, на которых \( f(x) < 0 \) и \( f(x) > 0 \): Парабола \( f(x) \) направлена вверх (так как коэффициент при \( x^2 \) положителен). Она пересекает ось \( x \) в точках \( x_1 \) и \( x_2 \). Следовательно:

   • \( f(x) < 0 \) на промежутке \( (x_1, x_2) \).
   • \( f(x) > 0 \) на промежутках \( (-\infty, x_1) \) и \( (x_2, +\infty) \).

3. Промежутки убывания и возрастания: Для определения промежутков убывания и возрастания найдем производную: \[ f'(x) = 2x - 6. \] Найдем критические точки: \[ 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3. \]

   • Функция возрастает на \( (-\infty, 3) \) и на \( (3, +\infty) \) поскольку производная положительна для \( x > 3 \).
   • Функция убывает на промежутке \( (3) \) (это точка минимума).

4. Область значений: Парабола имеет минимум в точке \( x = 3 \): \[ f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 4 = 9 - 18 + 4 = -5. \] Так как парабола открыта вверх, область значений: \[ [ -5, +\infty ) \]

Теперь вы можете построить график функции \( f(x) = x^2 - 6x + 4 \):

1. Отметить нули \( x_1 = 3 - \sqrt{5} \) и \( x_2 = 3 + \sqrt{5} \).
2. Определить промежутки, где функция положительна и отрицательна.
3. Обозначить точку минимума на графике.

Эти шаги помогут вам визуализировать график функции и проанализировать его характеристики.