Решите уравнение 3sin²x-5sinx-2=0

Для решения уравнения \(3\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0\) мы можем использовать замену переменной. Обозначим \(y = \sin x\). Таким образом, уравнение преобразуется к следующему виду:

\[ 3y^2 - 5y - 2 = 0. \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) рассчитывается по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac, \]

где \(a = 3\), \(b = -5\), и \(c = -2\).

Подставим значения:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49. \]

Теперь, зная дискриминант, можем найти корни уравнения по формуле:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Подставим значения:

\[ y = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 7}{6}. \]

Теперь найдем оба корня:

1. \(y_1 = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2\),
2. \(y_2 = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\).

Теперь у нас есть два значения для \(y\):

1. \(y_1 = 2\) (это значение не может быть равно \(\sin x\), так как \(\sin x\) принимает значения только от -1 до 1),
2. \(y_2 = -\frac{1}{3}\).

Поскольку \(\sin x = -\frac{1}{3}\) имеет решение, давайте найдем его. \( \sin x = -\frac{1}{3} \) означает, что \(x\) может принимать следующие значения:

\[ x = \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi, \]

где \(k\) — любое целое число.

Таким образом, финальные решения уравнения:

\[ x = \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi, \]

где \(k \in \mathbb{Z}\).