Задача 2: Описание: В магазине было проведено исследование, чтобы проверить влияние цены на количество проданных единиц товара. Было собрано 10 наблюдений, где X - цена (руб.) и Y - количество проданных единиц: X Y 100 20 110 18 120 16 130 15 140 14 150 12 160 11 170 10 180 9 190 8 Задание: 1. Рассчитайте коэффициент корреляции Пирсона для цены и количества проданных единиц. 2. Проведите регрессионный анализ и получите уравнение регрессии. 3. Интерпретируйте результаты. .

Для решения вашей задачи давайте подробно разберем каждый этап.

1. Расчет коэффициента корреляции Пирсона

Коэффициент корреляции Пирсона (r) позволяет оценить степень линейной связи между двумя переменными. Формула для его вычисления выглядит следующим образом:

\[ r = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n\sum X^2 - (\sum X)^2][n\sum Y^2 - (\sum Y)^2]}} \]

Где:

• n — количество наблюдений,
• X и Y — рассматриваемые переменные.

Для ваших данных:

\[ \begin{align*} \text{Суммы:} \\ \sum X &= 100 + 110 + 120 + 130 + 140 + 150 + 160 + 170 + 180 + 190 = 1450 \\ \sum Y &= 20 + 18 + 16 + 15 + 14 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 = 143 \\ \sum XY &= (100 \cdot 20) + (110 \cdot 18) + (120 \cdot 16) + (130 \cdot 15) + (140 \cdot 14) + (150 \cdot 12) + (160 \cdot 11) + (170 \cdot 10) + (180 \cdot 9) + (190 \cdot 8) = 25260 \\ \sum X^2 &= 100^2 + 110^2 + 120^2 + 130^2 + 140^2 + 150^2 + 160^2 + 170^2 + 180^2 + 190^2 = 271250 \\ \sum Y^2 &= 20^2 + 18^2 + 16^2 + 15^2 + 14^2 + 12^2 + 11^2 + 10^2 + 9^2 + 8^2 = 2045 \\ n &= 10 \end{align*} \]

Подставим эти значения в формулу для r:

\[ \begin{align*} r &= \frac{10(25260) - (1450)(143)}{\sqrt{[10 \cdot 271250 - (1450)^2][10 \cdot 2045 - (143)^2]}} \\ &= \frac{252600 - 207350}{\sqrt{(2712500 - 2102500)(20450 - 20449)}} \\ &= \frac{45250}{\sqrt{610000(1)}} \\ &= \frac{45250}{780} \approx 0.58 \end{align*} \]

Коэффициент корреляции Пирсона равен примерно 0.58, что говорит о наличии умеренной положительной связи между ценой и количеством проданных единиц.

2. Проведение регрессионного анализа

Теперь проведем простую линейную регрессию, чтобы найти уравнение регрессии. Уравнение имеет вид:

\[ Y = a + bX \]

Где:

• \( b = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{n(\sum X^2) - (\sum X)^2} \)
• \( a = \frac{\sum Y - b \sum X}{n} \)

Вычислим \( b \):

\[ \begin{align*} b &= \frac{10(25260) - (1450)(143)}{10(271250) - (1450)^2} \\ &= \frac{252600 - 207350}{2712500 - 2102500} \\ &= \frac{45250}{610000} \approx 0.074 \end{align*} \]

Теперь найдем \( a \):

\[ \begin{align*} a &= \frac{\sum Y - b \sum X}{n} \\ &= \frac{143 - 0.074 \cdot 1450}{10} \\ &= \frac{143 - 107.3}{10} \\ &= \frac{35.7}{10} = 3.57 \end{align*} \]

Итак, уравнение регрессии:

\[ Y = 3.57 - 0.074X \]

3. Интерпретация результатов

Результаты анализа показывают, что с увеличением цены на 1 рубль количество проданных единиц товара уменьшается в среднем на 0.074 единицы. Это предполагает отрицательную связь между ценой и количеством проданных товаров, что вполне логично, так как обычно с увеличением цены продажи снижаются.

Коэффициент корреляции 0.58 указывает на умеренную связь: хотя есть и другие факторы, влияющие на количество продаж, цена играет значительную роль.

Если у вас есть дополнительные вопросы по данной теме или требуется помощь с другими задачами, не стесняйтесь задавать!