Найди наибольшее значение функции f ( x ) = ( 2 x − 3 ) ⋅ e 2 , 5 − x f(x)=(2x−3)⋅e 2,5−x на отрезке [ − 5 ; 4 ] [−5;4] .
Чтобы найти наибольшее значение функции \( f(x) = (2x - 3) \cdot e^{2.5 - x} \) на отрезке \( [-5; 4] \), мы будем следовать следующему алгоритму:
Найдем производную функции. Это поможет нам найти критические точки, где функция может достигать максимума.
Используя правило произведения, найдем \( f'(x) \):
\[ f'(x) = (2) \cdot e^{2.5 - x} + (2x - 3) \cdot (-e^{2.5 - x}) \]
Упростим это выражение:
\[ f'(x) = 2 e^{2.5 - x} - (2x - 3)e^{2.5 - x} \]
\[ f'(x) = e^{2.5 - x} (2 - (2x - 3)) = e^{2.5 - x} (5 - 2x) \]
Приравняем производную к нулю:
\[ e^{2.5 - x} (5 - 2x) = 0 \]
Поскольку \( e^{2.5 - x} \) не равно нулю для любого \( x \), мы можем решить уравнение:
\[ 5 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2.5 \]
Проверим, попадает ли найденная критическая точка \( x = 2.5 \) в наш отрезок \( [-5; 4] \). Да, она попадает.
Теперь вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
- В точке \( x = -5 \):
\[ f(-5) = (2 \cdot (-5) - 3) \cdot e^{2.5 - (-5)} = (-10 - 3) \cdot e^{7.5} = -13 \cdot e^{7.5} \]
- В точке \( x = 2.5 \):
\[ f(2.5) = (2 \cdot 2.5 - 3) \cdot e^{2.5 - 2.5} = (5 - 3) \cdot e^0 = 2 \cdot 1 = 2 \]
- В точке \( x = 4 \):
\[ f(4) = (2 \cdot 4 - 3) \cdot e^{2.5 - 4} = (8 - 3) \cdot e^{-1.5} = 5 \cdot e^{-1.5} \]
Сравним все найденные значения:
- \( f(-5) = -13 e^{7.5} \) (отрицательное значение)
- \( f(2.5) = 2 \) (максимальное значение)
- \( f(4) = 5 e^{-1.5} \) (положительное значение, но меньше 2)
Таким образом, наибольшее значение функции \( f(x) \) на отрезке \( [-5; 4] \) равно \( 2 \), и оно достигается в точке \( x = 2.5 \).
