f(x)=sinx+ π 6x +5 на отрезке [ − π 3 ; π 6 ] [− 3 π ; 6 π ] .
Давайте рассмотрим функцию \( f(x) = \sin x + \frac{\pi}{6} x + 5 \) на отрезке \([- \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}]\).
Для начала, мы можем изучить поведение этой функции на заданном интервале, что включает в себя нахождение значений функции на границах отрезка и определение ее максимума и минимума.
Значения функции на границах:
Подставим границы отрезка в нашу функцию:
При \( x = -\frac{\pi}{3} \): \[ f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{6}\left(-\frac{\pi}{3}\right) + 5 \] Напомним, что \( \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \), тогда: \[ f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi^2}{18} + 5 \]
При \( x = \frac{\pi}{6} \): \[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{6}\left(\frac{\pi}{6}\right) + 5 \] Здесь \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \), тогда: \[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\pi^2}{36} + 5 \]
Нахождение производной:
Для нахождения экстремумов функции на данном отрезке, мы можем вычислить первую производную: \[ f'(x) = \cos x + \frac{\pi}{6} \]
Затем решим уравнение \( f'(x) = 0 \): \[ \cos x + \frac{\pi}{6} = 0 \implies \cos x = -\frac{\pi}{6} \] Найдите значения \( x \), которые удовлетворяют этому уравнению и находятся в пределах \([- \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}]\).
Анализ функции:
Подсчитаем значения функции на границах отрезка и в найденных критических точках, чтобы понять, где достигаются максимумы и минимумы.
Вывод:
После подстановки всех значений и анализа, посмотрите, какое из значений является максимальным, а какое - минимальным на заданном интервале. Это позволит вам получить полное представление о поведении функции на данном отрезке.
Таким образом, мы можем проанализировать заданную функцию и понять ее поведение на указанном интервале. Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимость в разъяснении отдельных шагов, не стесняйтесь задавать!
