Найди наименьшее значение функции f(x)=(x^2 -3x-3)*e^x-3 на отрезке [-1;4]

Для нахождения наименьшего значения функции \( f(x) = (x^2 - 3x - 3)e^x - 3 \) на отрезке \([-1; 4]\), нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдём производную функции \( f(x) \) и определим критические точки: \[ f'(x) = (2x - 3)e^x + (x^2 - 3x - 3)e^x \] Упрощая это, получаем: \[ f'(x) = e^x (2x - 3 + x^2 - 3x - 3) = e^x (x^2 - x - 6) \]

   Теперь нам нужно решить уравнение \( x^2 - x - 6 = 0 \) для нахождения критических точек.

2. Найдем корни квадратного уравнения: \[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 \] Таким образом, корни будут: \[ x_1 = 3, \quad x_2 = -2 \]

3. Выделим критические точки: Так как рассматриваем отрезок \([-1; 4]\), критическая точка \( x = -2 \) не входит в наш отрезок. Критическая точка \( x = 3 \) входит в отрезок.

4. Посчитаем значения функции на границах и в критической точке:

   • На границе \( x = -1 \): \[ f(-1) = ((-1)^2 - 3(-1) - 3)e^{-1} - 3 = (1 + 3 - 3)e^{-1} - 3 = 1/e - 3 \]
   • В критической точке \( x = 3 \): \[ f(3) = (3^2 - 3 \cdot 3 - 3)e^3 - 3 = (9 - 9 - 3)e^3 - 3 = -3e^3 - 3 \]
   • На границе \( x = 4 \): \[ f(4) = (4^2 - 3 \cdot 4 - 3)e^4 - 3 = (16 - 12 - 3)e^4 - 3 = e^4 - 3 \]

5. Сравним все найденные значения:

   • \( f(-1) = 1/e - 3 \)
   • \( f(3) = -3e^3 - 3 \)
   • \( f(4) = e^4 - 3 \)

Теперь нужно оценить, какое из этих значений наименьшее. Поскольку \( e^3 \) и \( e^4 \) — это большие положительные числа, значение \( f(3) = -3e^3 - 3 \) будет наименьшим среди вычисленных значений.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке \([-1; 4]\) достигается в точке \( x = 3 \) и равно \( -3e^3 - 3 \).