Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними — 120°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Чтобы найти третью сторону треугольника и его площадь, мы можем использовать закон косинусов и формулу для площади треугольника.

Находим третью сторону

Согласно закону косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \] где:

• \( a = 10 \) см,
• \( b = 12 \) см,
• \( C = 120^\circ \).

Сначала найдём \( \cos(120^\circ) \): \[ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \]

Теперь подставим значения в формулу: \[ c^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ c^2 = 100 + 144 + 120 \] \[ c^2 = 364 \] \[ c = \sqrt{364} \approx 19.1 \text{ см} \]

Находим площадь треугольника

Для нахождения площади треугольника можно воспользоваться формулой: \[ S = \frac{1}{2}ab \sin(C) \] где:

• \( a = 10 \) см,
• \( b = 12 \) см,
• \( C = 120^\circ \).

Сначала найдём \( \sin(120^\circ) \): \[ \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь подставим значения в формулу: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \text{ см}^2 \approx 51.96 \text{ см}^2 \]

Ответ

• Третья сторона треугольника: \( \approx 19.1 \) см
• Площадь треугольника: \( 30\sqrt{3} \text{ см}^2 \approx 51.96 \text{ см}^2 \)