X-8/2x+3≥0

Для решения неравенства \( \frac{x - 8}{2x + 3} \geq 0 \) давайте разберем его на шаги.

1. Нахождение нулевых точек: Мы начнем с поиска корней числителя и знаменателя.

   • Числитель: \( x - 8 = 0 \) дает \( x = 8 \).
   • Знаменатель: \( 2x + 3 = 0 \) дает \( x = -\frac{3}{2} \).

2. Анализ знаков: Теперь мы знаем, что у нас есть две ключевые точки: \( x = 8 \) и \( x = -\frac{3}{2} \). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала:

   • \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \)
   • \( (-\frac{3}{2}, 8) \)
   • \( (8, +\infty) \)

3. Проверка знаков в интервалах:

   • Для интервала \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \): Выберите, например, \( x = -2 \): \( \frac{-2 - 8}{2(-2) + 3} = \frac{-10}{-4 + 3} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0\)
   • Для интервала \( (-\frac{3}{2}, 8) \): Выберите, например, \( x = 0 \): \( \frac{0 - 8}{2(0) + 3} = \frac{-8}{3} < 0\)
   • Для интервала \( (8, +\infty) \): Выберите, например, \( x = 9 \): \( \frac{9 - 8}{2(9) + 3} = \frac{1}{18 + 3} = \frac{1}{21} > 0\)

4. Запись решения: Мы искали, когда дробь положительна или равна нулю. Из анализа выяснили, что:

   • На интервале \( (-\infty, -\frac{3}{2}) \) и \( (8, +\infty) \) дробь положительна.
   • В точке \( x = 8 \) дробь равна нулю, а \( x = -\frac{3}{2} \) ведет к неопределенности (знаменатель равен нулю и делить на ноль нельзя).

Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup [8, +\infty) \]

Это и есть искомый ответ! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разъяснить какие-то моменты, не стесняйтесь спрашивать!