найди наибольшее значение функции f(x)=cox(x)+12x:пи +3 на отрезке [-пи:3; пи:6]
Чтобы найти наибольшее значение функции \( f(x) = \cos(x) + 12x \) на отрезке \( \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right] \), необходимо выполнить следующие шаги:
Найти производную функции: \[ f'(x) = -\sin(x) + 12 \]
Найти критические точки: Установим производную равной нулю и решим уравнение: \[ -\sin(x) + 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin(x) = 12 \] Заметим, что \(\sin(x)\) не может принимать значение 12, так как максимальное значение синуса равно 1. Таким образом, в пределах заданного отрезка нет критических точек.
Проверка значений функции на границах отрезка: Теперь нужно подставить границы отрезка в функцию \( f(x) \).
Для \( x = -\frac{\pi}{3} \): \[ f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + 12\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} - 4\pi \]
Для \( x = \frac{\pi}{6} \): \[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + 12\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi \]
Сравнение значений: Теперь нужно сравнить значения функции на границах:
- \( f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} - 4\pi \)
- \( f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi \)
Численно \( -4\pi \) значительно меньше, чем \( 2\pi \), поэтому:
\[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) > f\left(-\frac{\pi}{3}\right) \]
Заключение: На отрезке \( \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right] \) наибольшее значение функции \( f(x) \) достигается при \( x = \frac{\pi}{6} \) и равно \( \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi \).
