Реши

Привет! Давай разберёмся с задачей.

На доске, похоже, даны функции:

1. \( y = \frac{3x^2 + 1}{x^2 - 5} \)
2. \( y = \frac{3x^2 + x}{x^2 - 5} \)
3. \( y = \frac{3x}{x^2 - 4} \)

Скорее всего, нужно найти производные этих функций. Давай решим одну из них на примере первой функции \( y = \frac{3x^2 + 1}{x^2 - 5} \).

Чтобы найти производную дробно-рациональной функции, используем правило дифференцирования дробей. Если \( u(x) = 3x^2 + 1 \), а \( v(x) = x^2 - 5 \), то производная будет:

1. Произведение: \( (\text{числитель}\times\text{производная знаменателя} - \text{знаменатель}\times\text{производная числителя}) \)
2. \( u'(x) = 6x \)
3. \( v'(x) = 2x \)

Подставляем в формулу производной:

\[ y' = \frac{(3x^2 + 1)'(x^2 - 5) - (3x^2 + 1)(x^2 - 5)'}{(x^2 - 5)^2} \] \[ y' = \frac{(6x)(x^2 - 5) - (3x^2 + 1)(2x)}{(x^2 - 5)^2} \]

Теперь упростим:

\[ y' = \frac{6x(x^2 - 5) - 2x(3x^2 + 1)}{(x^2 - 5)^2} \]

После этого раскроем скобки и упростим выражение:

\[ y' = \frac{6x^3 - 30x - 6x^3 - 2x}{(x^2 - 5)^2} \] \[ y' = \frac{-30x - 2x}{(x^2 - 5)^2} \] \[ y' = \frac{-32x}{(x^2 - 5)^2} \]

Вот и всё! Надеюсь, разбор был полезен. Напиши, если нужно помочь с другими примерами!