Вариант 1. (17 баллов) Двум малярам Диме и Олегу поручили выкрасить фасад дома. Они разделили фасад на две равные части и одновременно приступили к работе. Дима использовал краскопульт, а Олег красил фасад вручную. Известно, что Дима красит краскопультом в три раза быстрее, чем Олег вручную. Через некоторое время они одновременно поменяли способ покраски: Дима стал красить вручную, а Олег краскопультом. При этом производительность каждого изменилась в два раза: у Олега увеличилась в два раза, а у Димы уменьшилась. Покраску своей части фасада они закончили одновременно. Сколько квадратных метров покрасил краскопультом Дима, если весь фасад дома составляет 330 м²?

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим некоторые параметры:

1. Пусть скорость покраски Олега вручную равна \( V \) квадратных метров в час. Следовательно, скорость покраски Димы краскопультом равна \( 3V \) квадратных метров в час, так как он красит в три раза быстрее.

2. Площадь фасада составляет 330 м², и обе части фасада равны, поэтому каждый маляр требует покрасить по \( 165 \, \text{м}^2 \).

Теперь будем анализировать процесс покраски:

1. Первый этап:

• За какое-то время \( t_1 \) Дима красит краскопультом, а Олег вручную.
• За время \( t_1 \) Дима покрасит \( 3V t_1 \) м², а Олег покрасит \( V t_1 \) м².
• В сумме они должны покрасить свою часть: \[ 3V t_1 + V t_1 = 165, \] что даёт: \[ 4V t_1 = 165 \Rightarrow t_1 = \frac{165}{4V}. \]

2. Второй этап:

• Теперь Дима начинает красить вручную (со скоростью \( V \)), а Олег начинает красить краскопультом (со скоростью \( 2 \times 3V = 6V \)).
• Пусть время второго этапа \( t_2 \).
• Дима за это время покрасит \( V t_2 \) м², а Олег покрасит \( 6V t_2 \) м².

Тогда для второго этапа: \[ V t_2 + 6V t_2 = 165. \] Это можно переписать как: \[ 7V t_2 = 165 \Rightarrow t_2 = \frac{165}{7V}. \]

3. Общее время: Так как Дима и Олег закончили покраску одновременно, имеем: \[ t_1 + t_2 = t, \] где \( t \) – общее время покраски.

Подставляем значения: \[ \frac{165}{4V} + \frac{165}{7V} = t. \] Найдём общий знаменатель (28V): \[ \frac{165 \cdot 7}{28V} + \frac{165 \cdot 4}{28V} = \frac{(165 \cdot 7 + 165 \cdot 4)}{28V} = \frac{165 \cdot (7 + 4)}{28V} = \frac{165 \cdot 11}{28V}. \]

4. Упрощаем: Мы знаем, что после первого этапа Дима покрасил \( 3V t_1 = 3V \cdot \frac{165}{4V} = \frac{495}{4} \, \text{м}^2\) краскопультом.

Теперь определим, какова площадь, которую Дима покрасил вручную. Это будет число, определённое за время \( t_2 \): \[ V t_2 = V \cdot \frac{165}{7V} = \frac{165}{7} \, \text{м}^2. \]

Так как Дима покрасил фасад в двух формах:

1. Краскопультом - \(\frac{495}{4} \, \text{м}^2\)
2. Вручную - \(\frac{165}{7} \, \text{м}^2\)

Сложим обе части, чтобы получить общую площадь, которую покрасил Дима: \[ \text{Площадь краскопультом} = \frac{495}{4} \, \text{м}^2. \] Таким образом, ответ будет: Дима покрасил краскопультом \( \frac{495}{4} \, \text{м}^2 \) или 123,75 м².