решите неравенство 1) (x+7)(x-1)(x+8)<0 2) (x-1)²(5-x)(x-6≥0 3) x/x-4 - 3/x - 22/x²-4x≤0
Давайте шаг за шагом решим каждое из неравенств.
1) \((x+7)(x-1)(x+8)<0\)
Чтобы решить это неравенство, нужно определить, на каких интервалах произведение трех выражений отрицательно. Начнем с нахождения корней:
- \(x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7\)
- \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
- \(x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8\)
Теперь мы имеем корни: \(-8\), \(-7\) и \(1\). Разделим числовую прямую на интервалы:
- \((-\infty, -8)\)
- \((-8, -7)\)
- \((-7, 1)\)
- \((1, +\infty)\)
Теперь проверим знак произведения в каждом интервале, выбрав тестовые точки:
Для интервала \((-\infty, -8)\) возьмем \(x = -9\): \((x+7)(x-1)(x+8) = (-2)(-10)(-1) < 0\) (отрицательное)
Для интервала \((-8, -7)\) возьмем \(x = -7.5\): \((x+7)(x-1)(x+8) = (0.5)(-8.5)(0.5) > 0\) (положительное)
Для интервала \((-7, 1)\) возьмем \(x = 0\): \((x+7)(x-1)(x+8) = (7)(-1)(8) < 0\) (отрицательное)
Для интервала \((1, +\infty)\) возьмем \(x = 2\): \((x+7)(x-1)(x+8) = (9)(1)(10) > 0\) (положительное)
Таким образом, неравенство выполняется на интервалах \((-\infty, -8)\) и \((-7, 1)\).
Ответ: \(x \in (-\infty, -8) \cup (-7, 1)\)
2) \((x-1)²(5-x)(x-6) \geq 0\)
Сначала найдем корни:
- \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\) (двойной корень)
- \(5 - x = 0 \Rightarrow x = 5\)
- \(x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6\)
Корни: \(1\), \(5\), \(6\). Разделим на интервалы:
- \((-\infty, 1)\)
- \((1, 5)\)
- \((5, 6)\)
- \((6, +\infty)\)
Теперь проверим знаки в каждом интервале:
Для \((-\infty, 1)\), например, \(x = 0\): \((0-1)²(5-0)(0-6) = (1)(5)(-6) < 0\)
Для \((1, 5)\), например, \(x = 2\): \((2-1)²(5-2)(2-6) = (1)(3)(-4) < 0\)
Для \((5, 6)\), например, \(x = 5.5\): \((5.5-1)²(5-5.5)(5.5-6) = (4.5)²(-0.5)(-0.5) > 0\)
Для \((6, +\infty)\), например, \(x = 7\): \((7-1)²(5-7)(7-6) = (6)²(-2)(1) < 0\)
Таким образом, неравенство выполняется на интервале \([5, 6)\) и в точке \(x = 1\).
Ответ: \(x \in [1] \cup [5, 6)\)
3) \(\frac{x}{x-4} - \frac{3}{x} - \frac{22}{x^2 - 4x} \leq 0\)
Приведем все к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \(x(x-4)\):
\[ \frac{x^2 - 3(x-4) - 22}{x(x-4)} \leq 0 \]
Упростим числитель:
\[ x^2 - 3x + 12 - 22 = x^2 - 3x - 10 \]
Теперь получаем:
\[ \frac{x^2 - 3x - 10}{x(x-4)} \leq 0 \]
Найдем корни числителя:
\[ x^2 - 3x - 10 = 0 \]
При помощи дискриминанта: \[ D = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \Rightarrow x_{1,2} = \frac{3 \pm 7}{2} \] Корни: \[ x_1 = 5, \quad x_2 = -2 \]
Теперь у нас есть корни: \(-2\) и \(5\). И также учтем критические точки \(0\) и \(4\) (из знаменателя).
Интервалы:
- \((-\infty, -2)\)
- \((-2, 0)\)
- \((0, 4)\)
- \((4, 5)\)
- \((5, +\infty)\)
Теперь проверим знаки:
Для \((-\infty, -2)\), например, \(x = -3\): \(> 0\) (знак положительный)
Для \((-2, 0)\), например, \(x = -1\): \(< 0\) (знак отрицательный)
Для \((0, 4)\), например, \(x = 1\): \(< 0\) (знак отрицательный)
Для \((4, 5)\), например, \(x = 4.5\): \(> 0\) (знак положительный)
Для \((5, +\infty)\), например, \(x = 6\): \(> 0\) (знак положительный)
Неравенство выполняется на интервалах \((-2, 0)\) и \((0, 4)\).
Ответ: \(x \in (-2, 0) \cup (0, 4)\)
Надеюсь, эти шаги помогут вам успешно решить задачи неравенств! Если будут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
