Решите неравенство a) x² + 4x - 21 < 0 б) x² - 4x - 21 > 0 в) x² + 10x > 0

Решим каждое из указанных неравенств по порядку.

a) \( x^2 + 4x - 21 < 0 \)

1. Найдем корни уравнения \( x^2 + 4x - 21 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \]

2. Корни записываем по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 10}{2} \]

   • \( x_1 = \frac{6}{2} = 3 \)
   • \( x_2 = \frac{-14}{2} = -7 \)

3. Определим промежутки на числовой прямой:

   • \( (-\infty, -7) \)
   • \( (-7, 3) \)
   • \( (3, \infty) \)

4. Проверим знак на каждом промежутке:

   • Для \( x < -7 \): например, \( x = -8 \) → \( (-8)^2 + 4(-8) - 21 = 64 - 32 - 21 = 11 \) (положительное).
   • Для \( -7 < x < 3 \): например, \( x = 0 \) → \( 0^2 + 4(0) - 21 = -21 \) (отрицательное).
   • Для \( x > 3 \): например, \( x = 4 \) → \( 4^2 + 4(4) - 21 = 16 + 16 - 21 = 11 \) (положительное).

Таким образом, неравенство \( x^2 + 4x - 21 < 0 \) выполняется на промежутке: \[ (-7, 3) \]

б) \( x^2 - 4x - 21 > 0 \)

1. Найдем корни уравнения \( x^2 - 4x - 21 = 0 \): \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \]

   • Корни: \[ x_{1,2} = \frac{4 \pm 10}{2} \]
   • \( x_1 = 7 \)
   • \( x_2 = -3 \)

2. Промежутки:

   • \( (-\infty, -3) \)
   • \( (-3, 7) \)
   • \( (7, \infty) \)

3. Проверим знак:

   • Для \( x < -3 \): например, \( x = -4 \) → положительное.
   • Для \( -3 < x < 7 \): например, \( x = 0 \) → отрицательное.
   • Для \( x > 7 \): например, \( x = 8 \) → положительное.

Неравенство \( x^2 - 4x - 21 > 0 \) выполняется на промежутках: \[ (-\infty, -3) \cup (7, \infty) \]

в) \( x^2 + 10x > 0 \)

1. Вынесем за скобки: \[ x(x + 10) > 0 \]

2. Найдем корни:

   • \( x = 0 \)
   • \( x + 10 = 0 \) ⇒ \( x = -10 \)

3. Промежутки:

   • \( (-\infty, -10) \)
   • \( (-10, 0) \)
   • \( (0, \infty) \)

4. Проверим знак:

   • Для \( x < -10 \): например, \( x = -11 \) → положительное.
   • Для \( -10 < x < 0 \): например, \( x = -5 \) → отрицательное.
   • Для \( x > 0 \): например, \( x = 1 \) → положительное.

Неравенство \( x^2 + 10x > 0 \) выполняется на промежутках: \[ (-\infty, -10) \cup (0, \infty) \]

Итак, подытоживая:

1. \( x^2 + 4x - 21 < 0 \) на промежутке \( (-7, 3) \)
2. \( x^2 - 4x - 21 > 0 \) на промежутках \( (-\infty, -3) \cup (7, \infty) \)
3. \( x^2 + 10x > 0 \) на промежутках \( (-\infty, -10) \cup (0, \infty) \)

Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!