Найти координаты центра и радиус окружности 2х^2+2у^2-8х+5у-4=0

Чтобы найти координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением \(2x^2 + 2y^2 - 8x + 5y - 4 = 0\), сначала упростим это уравнение.

1. Разделим все выражение на 2 для упрощения: \[ x^2 + y^2 - 4x + \frac{5}{2}y - 2 = 0 \]

2. Переносим всё на одну сторону уравнения: \[ x^2 + y^2 - 4x + \frac{5}{2}y = 2 \]

3. Теперь будем приводить уравнение к стандартному виду окружности \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), где \((a, b)\) — центр окружности, а \(r\) — радиус.

4. Начнем с полного квадрата для \(x\): \[ x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 \]

5. Теперь займемся \(y\): \[ y^2 + \frac{5}{2}y = \left(y + \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{25}{16} \]

6. Подставляем эти выражения обратно: \[ (x - 2)^2 - 4 + \left(y + \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{25}{16} = 2 \]

7. Упрощаем: \[ (x - 2)^2 + \left(y + \frac{5}{4}\right)^2 = 2 + 4 + \frac{25}{16} \] Приводим к общему знаменателю: \[ 2 = \frac{32}{16} \quad \text{и} \quad 4 = \frac{64}{16} \] Таким образом: \[ 2 + 4 = \frac{96}{16} \quad \text{и} \quad \frac{96}{16} + \frac{25}{16} = \frac{121}{16} \]

8. Теперь уравнение имеет вид: \[ (x - 2)^2 + \left(y + \frac{5}{4}\right)^2 = \frac{121}{16} \]

Теперь мы можем определить центр и радиус окружности:

• Центр окружности \( (a, b) = (2, -\frac{5}{4}) \)
• Радиус \( r = \sqrt{\frac{121}{16}} = \frac{11}{4} \)

Итак, координаты центра окружности: \( (2, -\frac{5}{4}) \), а радиус: \( \frac{11}{4} \).