X³-81=0

Чтобы решить уравнение \(x^3 - 81 = 0\), давайте сначала перенесем 81 на другую сторону:

\[x^3 = 81.\]

Теперь нам нужно извлечь кубический корень из 81. Мы знаем, что

\[81 = 3^4,\]

поэтому \(81\) можно записать как \((3^2)^3\), либо

\[\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = 3^{4/3}.\]

Так как нам нужно найти \(x\), извлекая корень, мы можем записать:

\[x = \sqrt[3]{81} = 3 \cdot \sqrt[3]{3}.\]

Чтобы быть более точными в плане целых чисел, заметим, что \(x^3 - 81\) также можно разложить на множители:

\[x^3 - 81 = (x - 4)(x^2 + 4x + 16).\]

Теперь мы можем найти действительные корни. Рассмотрим первое выражение:

\[x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4.\]

Теперь рассмотрим квадратное уравнение:

\[x^2 + 4x + 16.\]

Для него можем вычислить дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 - 64 = -48.\]

Так как дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Итак, у нас есть единственный действительный корень:

\[x = 4.\]

Если есть вопросы по дальнейшему решению, с удовольствием помогу!