2sin²x-7sinx+3=0

Для решения уравнения \(2\sin^2 x - 7\sin x + 3 = 0\), сначала заметим, что это квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Давайте обозначим \(y = \sin x\). Теперь уравнение можно переписать в следующем виде:

\[2y^2 - 7y + 3 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта. Дискриминант \(D\) рассчитывается по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\). Подставим значения:

\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня. Теперь используем формулу для нахождения корней:

\[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим наши значения:

\[y_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}\]

Теперь найдем оба корня:

1. \(y_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3\)
2. \(y_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Теперь вернёмся к \(\sin x\). Мы знаем, что \(y = \sin x\), поэтому у нас есть два уравнения:

1. \(\sin x = 3\)
2. \(\sin x = \frac{1}{2}\)

Однако, значение \(\sin x = 3\) не имеет решения в действительных числах, поскольку функция синуса принимает значения только в диапазоне от -1 до 1. Поэтому мы сосредоточимся на втором решении.

Для \(\sin x = \frac{1}{2}\) мы можем найти значения \(x\):

1. \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) (где \(k\) — любое целое число)
2. \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)

Таким образом, решения уравнения \(2\sin^2 x - 7\sin x + 3 = 0\) являются:

\[x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\]

где \(k\) — любое целое число.