Дан куб ABCD A1B1C1D1 с ребром 2.5 найдите расстояние между прямыми DD1 и BC

Для решения этой задачи, нам нужно найти расстояние между прямыми \( DD_1 \) и \( BC \) в кубе \( ABCD A_1B_1C_1D_1 \) со стороной \( 2.5 \).

1. Определим координаты вершин куба:

   • \( A(0, 0, 0) \)
   • \( B(2.5, 0, 0) \)
   • \( C(2.5, 2.5, 0) \)
   • \( D(0, 2.5, 0) \)
   • \( A_1(0, 0, 2.5) \)
   • \( B_1(2.5, 0, 2.5) \)
   • \( C_1(2.5, 2.5, 2.5) \)
   • \( D_1(0, 2.5, 2.5) \)

2. Запишем уравнения прямых \( DD_1 \) и \( BC \):

   • Прямая \( DD_1 \) проходит через точки \( D(0, 2.5, 0) \) и \( D_1(0, 2.5, 2.5) \). Параметрическое уравнение: \[ \begin{cases} x = 0 \\ y = 2.5 \\ z = t \quad (0 \leq t \leq 2.5) \end{cases} \]
   • Прямая \( BC \) проходит через точки \( B(2.5, 0, 0) \) и \( C(2.5, 2.5, 0) \). Параметрическое уравнение: \[ \begin{cases} x = 2.5 \\ y = t \quad (0 \leq t \leq 2.5) \\ z = 0 \end{cases} \]

3. Определим расстояние между прямыми: Расстояние между двумя параллельными прямыми можно найти с помощью формулы: \[ d = \frac{| \mathbf{a_1} \cdot (\mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2}) |}{|\mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2}|} \] где \( \mathbf{a_1} \) — вектор, соединяющий какую-то точку на одной из прямых и точку на другой прямой, а \( \mathbf{n_1} \) и \( \mathbf{n_2} \) — направляющие векторы обеих прямых.

   В данном случае:

   • Направляющий вектор для \( DD_1 \): \( \mathbf{n_1} = (0, 0, 1) \)
   • Направляющий вектор для \( BC \): \( \mathbf{n_2} = (0, 1, 0) \)

   Для точки \( D(0, 2.5, 0) \) и точки \( B(2.5, 0, 0) \): \[ \mathbf{a_1} = (2.5 - 0, 0 - 2.5, 0 - 0) = (2.5, -2.5, 0) \]

4. Вычисляем векторное произведение \( \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} \): \[ \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (-1) \mathbf{i} + 0 \mathbf{j} + 0 \mathbf{k} = (-1, 0, 0) \]

5. Найдем длину \( |\mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2}| \): \[ |\mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \]

6. Теперь подставим всё в формулу для расстояния: \[ d = \frac{|(2.5, -2.5, 0) \cdot (-1, 0, 0)|}{1} = \frac{|-2.5|}{1} = 2.5 \]

Таким образом, расстояние между прямыми \( DD_1 \) и \( BC \) равно \( 2.5 \).