4 cos²x + sin x-1=0

Для решения уравнения \( 4 \cos^2 x + \sin x - 1 = 0 \) сначала заметим, что мы можем воспользоваться известной тригонометрической тождеством, которое связывает синус и косинус:

\[ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x. \]

Подставив это в наше уравнение, получим:

\[ 4 (1 - \sin^2 x) + \sin x - 1 = 0. \]

Упрощаем уравнение:

\[ 4 - 4 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0, \] \[ -4 \sin^2 x + \sin x + 3 = 0. \]

Прибавим \( 4 \sin^2 x \) ко всем частям, чтобы изменить знак:

\[ 4 \sin^2 x - \sin x - 3 = 0. \]

Теперь это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Мы можем использовать дискриминант для поиска корней:

\[ D = b^2 - 4ac, \]

где \( a = 4 \), \( b = -1 \), \( c = -3 \):

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49. \]

Дискриминант положителен, следовательно, у уравнения есть два действительных корня. Находим корни по формуле:

\[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 7}{8}. \]

Итак, у нас есть два решения:

1. \( \sin x = \frac{8}{8} = 1 \)
2. \( \sin x = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} \)

Теперь найдем углы \( x \):

1. Для \( \sin x = 1 \):

   • \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \), где \( k \) - любое целое число.

2. Для \( \sin x = -\frac{3}{4} \), углы будут:

   • \( x = \arcsin\left(-\frac{3}{4}\right) + 2k\pi \) и \( x = \pi - \arcsin\left(-\frac{3}{4}\right) + 2k\pi \).

Надеюсь, это поможет вам в решении задачи! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.