-x^2-8x+9>0 с подробным разрешением

Для решения неравенства \(-x^2 - 8x + 9 > 0\), начнем с преобразования его к более удобной форме. Умножим каждую часть неравенства на \(-1\) и изменим знак неравенства:

\[ x^2 + 8x - 9 < 0 \]

Теперь необходимо найти корни квадратного уравнения \(x^2 + 8x - 9 = 0\). Используем формулу корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = 8\), \(c = -9\).

Сначала найдём дискриминант (\(D\)):

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \]

Теперь найдём корни:

\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 10}{2} \]

Теперь рассчитаем оба корня:

1. Первый корень:

\[ x_1 = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

2. Второй корень:

\[ x_2 = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \]

Таким образом, корни уравнения \(x^2 + 8x - 9 = 0\) - это \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -9\).

Теперь необходимо исследовать знак квадратного трехчлена \(x^2 + 8x - 9\) на промежутках, определяемых корнями:

1. \((- \infty, -9)\)
2. \((-9, 1)\)
3. \((1, +\infty)\)

Теперь выберем тестовые точки из каждого промежутка:

1. Для \((- \infty, -9)\), например, \(x = -10\):

\[ (-10)^2 + 8(-10) - 9 = 100 - 80 - 9 = 11 > 0 \]

2. Для \((-9, 1)\), например, \(x = 0\):

\[ 0^2 + 8(0) - 9 = -9 < 0 \]

3. Для \((1, +\infty)\), например, \(x = 2\):

\[ 2^2 + 8(2) - 9 = 4 + 16 - 9 = 11 > 0 \]

Таким образом, знак многочлена:

• На промежутке \((- \infty, -9)\) – положительный,
• На промежутке \((-9, 1)\) – отрицательный,
• На промежутке \((1, +\infty)\) – положительный.

Поскольку мы ищем, когда \(x^2 + 8x - 9 < 0\), решение неравенства:

\[ x \in (-9, 1) \]

Результат:

\[ \boxed{(-9, 1)} \]